第五章 大数定律与中心极限定律 、大数定律 中心极限定律
二、中心极限定律 一 、大数定律 第五章 大数定律与中心极限定律
大数定律与中心极限定理 研究两类问题: X1…∵,X 为相互独立的随机变量序列 (1)∑x-n2→?(大数定律) (2)n充分大时∑Xn服从什么分布? (中心极限定理)
大数定律与中心极限定理 研究两类问题： （大数定律） （中心极限定理） 为相互独立的随机变量序列 （2）n充分大时， 服从什么分布？ （1）
大数定理背景解释 如果测量课桌的高度,为了消除偶然(随机)因素的 影响,往往测量n次或者由n个人一起测,然后测量其 平均值。这样做法的理论依据是什么? 假定测量值x是一个随机变量,为了简单,假定每次 测量的x独立且均为正态分布,期望值就是课桌的真 正高度 X,+X、X,+X+X X1+X2+…+Xn 2 3 X,+X+…+X
大数定理背景解释 如果测量课桌的高度，为了消除偶然（随机）因素的 影响，往往测量n次或者由n个人一起测，然后测量其 平均值。这样做法的理论依据是什么？ 假定测量值x是一个随机变量，为了简单，假定每次 测量的x独立且均为正态分布，期望值就是课桌的真 正高度
思考题 1随机变量很小怎样理解? 2如果X与a非常靠近,是否 对任意的E>0,都有|X-a|E 正确的说法是,x的绝大部分取值都在a的附近。 即P{x-al>应该很小,几乎为
思考题 1.随机变量很小怎样理解？ 2. X 0 | < a − X a 如果 与 非常靠近，是否 对任意的 ，都有｜ 永远成立？ 结论: 否 正确的说法是，x的绝大部分取值都在 a 的附近。 由于X x x - a 是随机的, 可能偶尔会取到 使 即 P{ } 1 x - a 应该很小，几乎为
定义1:设X1,…n,随机变量序列, a是一个常数;若对任意>0, 有:imP{Xn-akE}=1 n→∞0 则称X1…,X…依概率收敛于a, 记为X>a
定义1： 依概率收敛于 a ， 设 随机变量序列， 是一个常数；若对任意 ， 有: 则称 记为
1、大数定律 定义设{Xn}是随机变量序列, 若对任意实数E>0,有 lim p k a<:}=1 n→0 k=1 即∑x-a-→则称《x服从大数定律。 k=1
设{ } X n 是随机变量序列， 若对任意实数 0,有 定义 1 1 lim 1, n k n k P X a → n = − = 即 1 1 0, n P k k X a n = − ⎯⎯→ 则称{Xn }服从大数定律。 1、大数定律
定理一1.切贝谢夫大数定律(1866) 若随机变量X1,X2…,Xn,…相互独立,具有相同 的数学期望u和方差02 X=∑X 对于任意e>0,有 lim PlX n→)∞0 lim p ∑Xk-|<6}=1 n→ k=1
若 随机变量X1，X2…，Xn，…相互独立，具有相同 的数学期望μ和方差σ2 定理一1.切贝谢夫大数定律（1866） 对于任意ε＞0，有
定理一(切比雪夫大数定理) 设随机变量X1,X2,…X,相互独立,并且具有相同的 数学期望和方差,E(XA)=,D(X)=a2(k=1,2…) 则序列X=∑X依概率收敛于 即X-2>
1 2 2 1 , , , ) , ) 1,2 ) 1 N k k n k k P X X X E(X D(X k X X n X = = = = = ⎯⎯→ 定理一 （切比雪夫大数定理） 设随机变量 相互独立，并且具有相同的 数学期望和方差， （ 则序列 依概率收敛于 即
定理二(贝努里大数定律)(1713) 设n次贝努里试验中事件A发生n/次,每次试验事件A 发生的概率p,则对任意e>0,有 lim p p|<e}=1 n→)∞ 定律从理论上证明了当重复独立的试验次数n很大时,随 机事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小。即 证明了随机事件频率的稳定性
定理二（贝努里大数定律）（1713） 设 n 次贝努里试验中事件A 发生nA次，每次试验事件A 发生的概率 p，则对任意ε＞0 ，有 定律从理论上证明了当重复独立的试验次数 n 很大时，随 机事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小。即 证明了随机事件频率的稳定性
证明定义随机变量 ,第k次试验中A发生 0,第k次试验中不发生k=1,2,…, 显然X1+1+…+n,且服从(01)分布 有E(X)=B,D(Xk=p(1-p)(k=1,2,…,n,…) 由于各次试验是独立的,因此x1,Ⅹ2,x3,…,xn, 是相互独立的。 由切贝谢夫大数定律(或推论)得 lim p
由于各次试验是独立的，因此 X1，X2，X3，…，Xn，… 是相互独立的。 1, 第k次试验中A发生 0，第k次试验中A不发生 证明 定义随机变量 lim = 1 − → p n n P A n Xk = k = 1，2，…，n 显然 n A = X1 +X1 +…+Xn ，且Xk服从（0—1）分布 由切贝谢夫大数定律（或推论）得 E(Xk ) = p, D(Xk 有 ) = p(1－p) （k=1,2,…,n,…）