第四章向量空间 本章主要讨论向量空间。它是线性 代数的基本内容之一。这里的向量是 个集合里元素的名称,而空间在数学上 的含义就是一个集合,在其中定义了运 算,而且这些运算满足一组法则。我们 网制可以通过这些运算的法则导出该集合的 “结构
第四章 向量空间 本章主要讨论向量空间。它是线性 代数的基本内容之一。这里的向量是一 个集合里元素的名称，而空间在数学上 的含义就是一个集合，在其中定义了运 算，而且这些运算满足一组法则。我们 可以通过这些运算的法则导出该集合的 “结构
§4.1n维向量空间R §4.2向量的线性相关性 §4.3向量空间的概念与子空间 §4.4线性方程组解的结构
§4.1 n 维向量空间Rn §4.3 向量空间的概念与子空间 §4.2 向量的线性相关性 §4.4 线性方程组解的结构
n维向量空间Rn 第
第一节 n维向量空 间 Rn
n维向量的定义 一组有序的n个实数组(x12x2,x,)称为 n维向量,其中x(i=1,2,…,n)称为该向量的 第i个分量,n维向量记为 )行向量 Or )列向量 如果两个n维向量a=(x1x2,,xn b=(y12y2…,yn) 的对应分量相等,即x1=y(i=12,…,m),则称 向量a与b相等,记为 b
1 2 1 2 T 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( 1,2,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) n i n n n n x x x n x i n i n x x x or x x x n x x x = = = = a a a 一组有序的 个实数组 称为一 个 维向量，其中 称为该向量的 第 个分量， 维向量记为 行向量 列向量 如果两个 维向量 1 2 ( , ,..., ) ( 1,2,..., ) n i i y y y x y i n = = = = b a b a b 的对应分量相等，即 ，则称 向量 与 相等，记为 一、n维向量的定义
分量全为零的n维向量称为零向量,记为0, 0=(0,0,…,0 称向量(-x,x2,-xn)为向量 的负向量,记为-x 由若干个n维列行)向量组成的集合叫做向量组, 个只含有m个向量的向量组总是与一个nxm(或 m×n阶矩阵一一对应如m个n维列向量组成的向量 组A:a,a2…,an构成了一个nxm阶矩阵 A=(a1.a2,amnm个n维行向量所组成的向量组 B:b,b2…,b就构成了一个m×m阶矩阵 B=(b,b2,,b
1 2 1 2 (0,0,...,0) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( ) ( ) n n n x x x x x x n m n m m n = − − − = − 0 0 x x 分量全为零的 维向量称为零向量，记为 ， 即: 称向量 为向量 的负向量，记为 由若干个 维列 行 向量组成的集合叫做向量组， 一个只含有 个向量的向量组总是与一个 或 阶矩阵一一 ( ) 1 2 1 2 T T T 1 2 T T T T 1 2 . , ,..., ( , ,..., ) , ,..., , ,..., m m m m m n A n m m n B m n = = a a a A a a a b b b B b b b 对应 如 个 维列向量组成的向量 组 ： 构成了一个 阶矩阵 ； 个 维行向量所组成的向量组 ： 就构成了一个 阶矩阵
二、n维向量的运算 设x=( ,)y=( 规定x+y=(x1+y,,x+yn) 维向量空间 切n维向量所构成的集合,按上面规定 的两种运算,可以验证它是符合下面八条运算 法则,这样的n维向量的集合称为n维向量空 间。记为Rn
1 2 1 2 1 1 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( ,..., ) ( , ,..., ) n n n n n x x x y y y x y x y x x x = = + = + + = x y x y x 设 规定 二、n维向量的运算 一切 n 维向量所构成的集合，按上面规定 的两种运算，可以验证它是符合下面八条运算 法则，这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空 间。记为 Rn 。 三、n维向量空间
1. a+b=b+a 2.(a+b)+c=a+(b+c) 3.a+0=a 4.a+(-a)=0 5.(2a)=(A) 6.(+a=+a 7. n(a+b=na+nb 三
1. 2. ( ) ( ) 3. 4. ( ) 5. ( ) ( ) 6. ( ) 7. ( ) 8. 1 + = + + + = + + + = + − = = + = + + = + = a b b a a b c a b c a 0 a a a 0 a a a a a a b a b a a
第二节向量的线性相关性
第二节 向量的线性相关性
、线性组合与线性表示 1.定义:设有向量组A:a1,a2,an及向量a, 若存在m个实数x1x2…xm,使 =x,a,+x、L+L+ 成立,则向量a称为向量组a1a2…,amn的一个 线性组合,或称向量a可由向量组a1,a2,an 线性表示 若向量a可由向量组Aa1a2,an线性表示,那 么向量方程a=xa1+x2a2+…+xnan有解
一、线性组合与线性表示 1.定义：设有向量组A：a1 ,a2 ,…,am及向量a， 若存在 m 个实数 x1 ,x2 ,…,xm，使 成立，则向量 a 称为向量组 a1 ,a2 ,…,am的一个 线性组合，或称向量 a 可由向量组 a1 ,a2 ,…,am 线性表示。 若向量a可由向量组A: a1 ,a2 ,…,am线性表示，那 么向量方程 有解. 1 1 2 2 m m a a a a = + + + x x x L 1 1 2 2 ... m m a a a a = + + + x x x
定理1向量a能由向量组a1,a2…,an(m2)线性表 示的充要条件矩阵A=(a1,a2,…,amn)的秩等于矩阵 B=(a1,a2…,ana)的秩。 二、等价向量组 1定义2:如果向量组A:a1a2,n中的每个向 量均可被向量组B:b1,b2,,b线性表示,则称 向量组A可被向量组B线性表示,若向量组A 与B可以相互线性表示,则称向量组A与B等 价
定理1.向量a能由向量组a1 ,a2 ,…,am(m≥2)线性表 示的充要条件矩阵A=(a1 ,a2 ,…,am)的秩等于矩阵 B= (a1 ,a2 ,…,am,a)的秩。 二、等价向量组 1.定义2：如果向量组 A：a1 ,a2 ,…,ar 中的每个向 量均可被向量组 B：b1 ,b2 ,…,bs 线性表示，则称 向量组 A 可被向量组 B 线性表示，若向量组 A 与 B可以相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等 价
