第六章二次型 本章主要讨论二次型的基本概念及 二次型的标准化问题
第六章 二次型 本章主要讨论二次型的基本概念及 二次型的标准化问题
§6.1二次型及其标准化 §6.2用配方法化二次型为标准型 §6.3正定二次型
§6.1 二次型及其标准化 §6.2 用配方法化二次型为标准型 §6.3 正定二次型
第一节二次型及其标准化
第一节 二次型及其标准化
定义.含有n个变量x1,x2…,xn的二次齐次函数 fo +a2x2+…+a nn n +2a12x1x2+2a13x1x3+.+2a 称为二次型 取 则2ax.x,=ax,x:+axx 于是()式可写成 a x2+…+a1nx1x +a21x 2x1 +a22x2t.+a2nx2x
1 2 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 , ,..., ( , ,..., ) ... 2 2 ... 2 (1) . , 2 n n nn n n n n n ij ji ij i j ij i j ji j i n x x x f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a a a x x a x x a x x − − = + + + + + + + = = + 含有 个变量 的二次齐次函数 称为二 定 次型 取 则 义. 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 , 1 (1) ... ... ............... (2) ... n n n n n n n n n nn n ij i j i j f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x = = + + + + + + + + + + + + = 于是 式可写成
关于二次型要讨论的主要问题是:寻求可逆线性 变换 x,=Cuvi+ cl2y2 C21V1+C22y (3) iVI 十C,+..+Cy 使二次型只含平方项,也就是将(3)代入(1),能使 k,y2+k,y2+.+k 这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准形 (或法式) 当an为复数时,f称为复二次型;当an为实数时 f称为实二次型
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 ... ... (3) ............... ... (3) (1) n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y f k y = + + + = + + + = + + + = 关于二次型要讨论的主要问题是：寻求可逆线性 变换 使二次型只含平方项，也就是将 代入 ，能使 2 2 2 1 2 2 ... n n ij ij k y k y a f a f + + + 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形 （或法式）。 当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时 称为实二次型
下面仅讨论实二次型,所求的线性变换(3)也限于 实系数范围 利用矩阵,二次型可表示为: f=( 若记A=a222…an x2|,则二次型可记作 ∫=xAx。其中A为对称矩阵。并把对称矩阵A叫做 二次型f的矩阵,也把∫叫做对称矩阵A的二次型
11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 (3) ... ... ( , ,..., ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . n n n n n nn n n n n n a a a x a a a x f x x x a a a x a a a a a a a a = A = 下面仅讨论实二次型，所求的线性变换 也限于 实系数范围。 利用矩阵，二次型可表示为： 若记 1 2 , ... .. . nn n x x a x f f f = = x x Ax A A A ，则二次型可记作 。其中 为对称矩阵。并把对称矩阵 叫做 二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型
对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩。 若记C=(cn),那么可逆线性变换(3)可记作 x=Cy,从而 f=x Ax=(Cy)'ACy=y(CAC)y 定理1.任给可逆矩阵C,令B=CIAC,如果A为 对称矩阵,则B亦为对称矩阵,且R(B)=R(A) 证:A为对称矩阵,即有A=A 于是BI=(CAC)=CAC=CAC=B 即B为对称矩阵 再证R(B)=R(A)因B=CAC,故 R(B)≤R(AC)≤R(4),又A=(CD)BC,故 R(A)≤R(BC)≤R(B),于是R(B)=R(A)
( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ij f c f R R = = = = = = = = = = = = A C x Cy x Ax Cy ACy y C AC y C B C AC A B B A A A A B C AC C A C C AC B 对称矩阵 的秩叫做二次型 的秩。 若记 ，那么可逆线性变换 可记作 ，从而 任给可逆矩阵 ，令 ，如果 为 对称矩阵，则 亦为对称 定理 . 证 矩阵，且 ： 为对称矩阵，即有 于是 （ ） 即 1 1 1 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R R R − − − = = = = B B A B C AC B AC A A C BC A BC B B A 为对称矩阵。 再证 因 ，故 ，又 ，故 ，于是
注:定理1说明,经可逆变换x=C后,二次型 f的矩阵由A变为CAC,且二次型的秩不变 要使二次型∫经可逆变换x=⑦y变成标准形,这 就是要使: yC ACy=kyi+k2y2+.+k 也就是要使CIAC成为对角矩阵。 由上节定理4知,任给实对称矩阵A,总有正交矩 阵P,使PAP=A
2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ... ... 4 n n n f f k y k y k y k k k = = = + + + = x Cy A C AC x Cy y C ACy y y C AC A P 定理 说明，经可逆变换 后，二次型 的矩阵由 变为 ，且二次型的秩不变。 要使二次型 经可逆变换 变成标准形，这 就是要使： 也就是要使 成为对角矩阵。 由上节定理 知，任给实对称矩阵 ，总有正交矩 阵 ，使 注： 1 . − P AP = Λ
把此结论应用于二次型,即有下面定理: 定理2任给二次型f=∑axx(an=an 总有正交变换x=P,使f化为标准形 f=4y2+2y2+…+2y2 其中λ1,2…,λ是f的矩阵A=(an)的特征值
, 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ... , ..., ( ) n ij i j ij ji i j n n n ij f a x x a a f f y y y f a = = = = = + + + = x Py A 把此结论应用于二次型，即有下面定理： 任给二次型 总有正交变换 ，使 化为标准形 其中 , 是 的矩阵 的特征值. 定理2
例1.求一个正交变换x=Py把二次型 f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x 化为标准形 011 解:二次型的矩阵为A 10 10 0 它的特征多项式为 11 A-E= (-元+ 1--1
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 f x x x x x x x x x x x x = = + − − + + − − = − − − − − − − = − − − − − − − = − + − − − x Py A A E 求一个正交变换 把二次型 化为标准形。 二次型的矩阵为 它的特征多项式为 解： 例1