证明所给矩阵为正交矩阵 方法一:证明矩阵的各列(或行)元素满足正 交条件 或∑anak=8) 影方法二:根据正交矩阵的定义,先求出A,然 后计算AA=E
1 1 T T ( ) ( ), , 1,2, , ; n ik kj ij k n ki jk ij k a a a a i j n = = = = = = A AA E 证明矩阵的各列 或行 元素满足正 交条件 或 根据正交矩阵的定义，先求出 ，然 后计算 方法一： 方法二： 一、证明所给矩阵为正交矩阵
例1.设a是n阶列向量,E是n阶单位矩阵, 证明A=E aa是正交矩阵 证明:先证明A=A,然后根据正交矩阵 的定义证明AA=E 2 A=E n?7 E-2 a1=4 2 AA=AA=E (aaaT[e-2
T T T T T T T T T T T T T T T , , 2 . ( ) 2 2 { } ( ) ( ) 2 2 [ ][ ) ) ] ( ( n n = − = = = − = − = = = − − 设 是 阶列向量 是 阶单位矩阵 证明 是正交矩阵 证明：先证明 ，然后根据正交矩阵 的定义证 例 1. 明 a E A E aa a a A A AA E A E aa E aa A a a a a A A AA E aa E aa a a a a
E 2 2 aa(a'a L 4 E aa+ ( ∵a≠0→aa≠0,a(ma)=(aa)aa 4 4 AA=E aa+ aa=E 故A是正交矩阵
T T T T T T T T T T T T T 2 T T T T T T T T T T 2 2 ( ) ( ) 2 2 [ ][ ] ( ) ( ) 4 4 [ ( ) ] ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) = − − + = − + = = − + = E aa aa a a a a aa aa a a a a E aa a a a a a a a a a 0 a a a a a a a a aa A A E aa aa E a a a a A ， 故 是正交矩阵
将线性无关向量组化为正交单位向 量组 将线性无关向量组化为正交单位向量组,可 以先正交化,再单位化;也可同时进行正交化与 单位化 0 0 例2.已知向量a 是 0 0 线性无关向量组,求与之等价的正交单位向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化。 1 2 3 1 1 1 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 , − = = = 已知向量α α α 是 线性无关向量组 求与之等价的正交单 例 2. 位向量组。 二、将线性无关向量组化为正交单位向 量组
解法一:先正交化,再单位化 (1)取B1=a1 (2)令B2=kB1+a2,使得B2与B正交 a2B2]=Ha1,B1]+[a1,a2]=0 k 故月2=(%-%10) a1,B1]2 (3)令63=kB+k2B2+a3,且B3与B2,月1正交 得=_LB,3] k B2a2]_1 B1,B1]2 B2,B2]3
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 T 1 1 2 2 2 1 1 3 1 1 2 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 2 1 1 2 2 (1) (2) , , [ , ] [ , ] [ ] 0, [ ] 1 , ( 1 0) [ ] 2 (3) , , , [ , ] 1 1 [ , ] , , [ , ] 2 [ , ] 3 k k k k k k k = = + = + = = − = − = − = + + = − = = − = 先正交化，再单位化 取 令 使得 与 正交 , , 故 , 令 且 法一： 与 解 正交 得
故β3=(-%k为1) (4)将B,B2,月单位化得 月2√2 00 22 乃ββ 16、6√6 63 √3√3√3√3 y 6662
T 111 3 333 1 2 3 1 T 1 1 2 T 2 2 3 T 3 3 ( 1) . (4) , , , 2 2 ( 0 0) 2 2 6 6 6 ( 0) 6 6 3 3333 ( ) ; 6 6 6 2 = − = = = = − = = − 故 将 单位化 得
解法二:同时进行正交化与单位化 0取=a==B1=(2y20 (2)令B2=ky1+a,使得B2与%正交得 √2 k=-[y12a2] 故B2 B2.√6√6 0 B2663
1 T 1 1 1 1 2 1 1 2 1 T 1 2 2 2 T 2 2 2 2 (1) ( 0 0) 2 2 (2) , 2 1 1 [ , ] , ( 1 0) 2 2 2 6 6 6 ( 0) 6 6 3 k k = = = = + = − = − = − = = − 同时进行正交化与单位化 取 令 使得 与 正 解 二： 交 故 法 得
(3)令月=kn1+k2y2+a3,且B与B2,B正交得 √2 k1=-%1,a3]=“,k2=-[y2,O2] 6 故3=( 1) 333 B3 √3√3√3√3 →y3Np 6662
3 1 1 2 2 3 3 2 1 1 1 3 2 2 2 T 3 3 T 3 3 (3) , 2 6 [ , ] , [ , ] 2 6 111 ( 1) 333 3333 ( ) 6 6 6 2 k k k k = + + = − = = − = = − = = − 令 且 与 , 正交得 故
特征值与特征向量的求法 第一步计算A的特征多项式; 第二步求出特征多项式的全部根,即得 A的全部特征值; 第三步将每一个特征值代入相应的线性 方程组,求出基础解系,即得该特征值的 特征向量
第一步 计算 A 的特征多项式； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性 方程组，求出基础解系，即得该特征值的 特征向量。 三、特征值与特征向量的求法
324 例3.计算3阶矩阵A=202的全部特征值 和特征向量 解:第一步,计算A的特征多项式 A-3-2-4 f()=E-A=-22-2=(x-8(2+) 第二步,求出特征多项式f()的全部根,即4的 全部特征值
2 324 3 2 0 2 423 . 3 2 4 ( ) 2 2 ( 8) . ( 1) 4 2 3 ( ) , . f f = − − − = − = − − = − + − − − 例3. A A E A A 计算 阶矩阵 的全部特征值 和特征向量 第一步，计算 的特征多项式 第二步，求出特征多项式 的全部根 即 解 的 全部特征值 ：