向量组线性关系的判定 线性相关与线性无关的概念都是针对 特定的向量组a1a2L,am而言的,当我们考 虑到向量空间中两种基本运算的结合物一线性 组合k1+k2C2+Lkna,时,其结果为向量空 间中的一个特殊向量一一零向量,那么,一个 自然的问题是:是否存在一组不全为零的数 n 也使得其线性组和为零向量 答案只有两种:存在或不存在这样,也就自 然而然地提出了线性相关与线性无关的概念,若 存在,则称该向量组线性相关;若不存在,则称
1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , . m m m m k k k k k k − − + + L L L 线性相关与线性无关的概念都是针对一个 特定的向量组 而言的，当我们考 虑到向量空间中两种基本运算的结合物 线性 组合 时，其结果为向量空 间中的一个特殊向量——零向量，那么，一个 自然的问题是：是否存在一组不全为零的数 ，也使得其线性组和为零向量？ 答案只有两种：存在或不存在这样，也就自 然而然地提出了线性相关与线性无关的概念，若 存在，则称该向量组线性相关；若不存在，则称 一、向量组线性关系的判定
该向量组线性无关,所谓不存在,指的是当且仅 ki=k2=L 0 时,才有 kIa+k2a2+l kmam=O 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的 概念来体现,即看其中有无某个向量(不是任意 个向量,可由其余向量线性表出?此外,还应注 意到:线性相关与线性无关是一对排中对立的概 念,据此,在论证某些相关性问题时,我们往往 采用反证法。 研究这一类问题,一般有两种方法。 方法一:从定义出发
1 2 1 1 2 2 0 , ( ) m m m k k k k k k = = = = + + = O L L 该向量组线性无关，所谓不存在，指的是当且仅 当 时 才有 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的 概念来体现，即看其中有无某个向量 不是任意一 个向量 ，可由其余向量线性表出？此外，还应注 意到：线性相关与线性无关是一对排中对立的概 念，据此，在论证某些相 关性问题时，我们往往 采用反证法。 研究这一类问题，一般有两种方法。 方法一：从定义出发
k,a,+k,a2+L +kam=o C11 C21 0 k au +k ain a2n 0 整理得线性方程组 Lanki+a21k2++amkm=0 auk+a22k2+L +amkm=0 LLLLL aimk+arnk2+l +ammkm=o 若线性方程组(*)只有唯一零解,则a122,L an线性无关;若线性方程组(*)有非零解,则a1,a2, L,a线性相关
1 1 2 2 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 m m m m m n n mn m m m m n n mn m k k k a a a a a a k k k a a a a k a k a k a k a k a k a k a k a k + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = α α L α 0 L M M M M L L LLLLL L 令 整理得线性方程组 1 2 1 2 (*) (*) , , , ( ) , , , , . m m α α α α α α L L 若线性方程组 只有唯一零解，则 线性无关；若线性方程组 有非零解 则 线性相关
方法二:利用矩阵秩与向量组秩之间的关系判定 给出一组n维向量a1,a2L,an,就得到一个 相应的矩阵A=(a1,a2,L,∝n),首先求出R(A);若 R(4)=m,则a1202L,线性无关;若R(4)<m, 则a1,a2,L,an线性相关
1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ( , , , ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , m m m m n R R m R m = = α α α A α α α A A α α α A α α α L L L L 方法二：利用矩阵秩与向量组秩之间的关系判定 给出一组 维向量 ，就得到一个 相应的矩阵 ，首先求出 ；若 ，则 线性无关；若 ， 则 线性相关
例1.研究下列向量组的线性相关性 0 -2 解:令k1+k2a2+ka 即:k1-2+k22+k30|=0 3 k1-k3=0 整理得 2k1+2k2=0 3k1-5k2+2k3=0 Q线性方程组(*)的系数行列式220=0
1 2 3 1 0 1 2 , 2 1. , 0 3 5 2 − = − = = − α α α 例 研究下列向量组的线性相关性 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 0 1 0 2 2 0 0 3 5 2 0 0 2 2 0 ( ) 3 5 2 0 1 0 1 ( ) 2 2 0 0 3 5 2 k k k k k k k k k k k k k + + = − − + + = − − = − + = − + = − − = − α α α O Q 令 即： 整理得： 线性方程组 的系数行列式 解：
线性方程组(*)必有非零解,从而a123 线性相关 解二:Qa a= 0 矩阵A=(a102a3)=-220 3-52 初等行变换(10 A=-220 02-2 3-52 000 R(A)=2<3,故向量组a12a2,a3线性相关
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) , , 1 0 1 2 , 2 , 0 3 5 2 1 0 1 ( , , ) 2 2 0 3 5 2 1 0 1 1 0 1 2 2 0 0 2 2 3 5 2 0 0 0 ( ) 2 ~ R − = − = = − − = = − − − − = − − − = α α α α α α A α α α A A Q 初等行变换 线性方程组 必有非零解，从而 线性相关 解二： 。 矩阵 1 2 3 3, , , 故向量组α α α 线性相关
例2.设a1,a2,L,a,线性相关,证明:存在不 全为零的数t1n2L,t,使对任何向量β都有 +tB,a2+t2B, L, a,+ B(r22 线性相关 证明:因为a12a2,L,a,线性相关,所以存在不 全为零的数k12k2L,k,使 k k2a,+l tk,a=0 考虑线性方程k1x1+k2x2+L+k,xr=0 因为r≥2,它必有非零解,设(t1n2L,t)为任一非 零解则对任意向量都有
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , ( 2) , , , , , , , , r r r r r r r r t t t t t t r k k k k k k + + + + + + = α α α β α β α β α β α α α α α α L L L L L L 设 线性相关，证明：存在不 全为零的数 ，使对任何向量 都有 ， 线性相关。 因为 线性相关 所以存在不 全为零的 例2. ： 数 使 证明 1 1 2 2 1 2 0 2, , ( , , , ) , , r r r k x k x k x r t t t + + + = O β L L 考虑线性方程 因为 它必有非零解 设 为任一非 零解 则对任意向量 都有
k1 a,+k2a,+L +ka +(kItI +k2t2+L +ktrB=o 即k(a1+tB)+k2{(2+t2/) +L+k,(a1+t1B)=O 由k,k2,L,k不全为零得知 a1+tB,a2+t/,L,an+t1B线性相关
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , : , , . r r r r r r r r r r k k k k t k t k t k t k t k t k k k t t t + + + + + + + = + + + + + + = + + + α α α β O α β α β α β O α β α β α β L L L L L 即 由 不全为零得知 ， 线性相关
例3.已知向量组a1a2L,a。的秩是;证明:a1 a2,L,a中任意r个线性无关的向量均构成它的 个最大线性无关组 证明:不失一般性设a1,a1,L,a,是a1a2,L,a 中的任意r个线性无关的向量,于是对于任意的 aA(k=1,2,L,s),向量组a1,a1,L,a,∝k线性相关 否则这向量组的秩大于r。 又向量组a,a1,L,∝,线性无关,所以a可以 由a,a,L,a,线性表出。由定义,这就证明了 a,a1,L,a1是12a2,L,a的一个极大线性无关组
1 2 r 1 2 r 1 2 s 1 2 s 1 2 s , , , , , , , . , , , , , , , ( 1,2, , ) , , , , i i i k i i i k r r r k s = α α α α α α α α α α α α α α α α α L L L L L L 已知向量组 的秩是 证明： 中任意 个线性无关的向量均构成它的 一个最大线性无关组。 不失一般性 设 是 中的任意 个线性无关的向量，于是对于任意的 ，向量组 线性相关 否则这 例 3. 证明： 向量组的秩 1 2 r 1 2 r 1 2 r 1 2 s , , , , , , , , , , , , , i i i k i i i i i i r α α α α α α α α α α α α α L L L L 大于 。 又向量组 线性无关 所以 可以 由 线性表出。由定义，这就证明了 是 的一个极大线性无关组
求向量组的秩 求一个向量组的秩,可以把它转化为矩阵的 秩来求,这个矩阵是由这组向量为行(列)向量 所排成的 若矩阵A经过初等行(列)变换化为矩阵B,则 A和B中任何对应的列(行)向量组都有相同的 线性相关性 如果向量组的向量以列(行)向量的形式给 出,把向量作为矩阵的列(行),对矩阵作初等 (列)变换,这样,不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线性无关组
求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的． 若矩阵A经过初等行（列）变换化为矩阵B ，则 A 和 B 中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线性相关性． 如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组． 二、求向量组的秩