第五章相何矩阵 本章通过矩阵的特征值、特征向量 以及相似矩阵的概念,进而找出对称矩 阵可对角化的条件
第五章 相似矩阵 本章通过矩阵的特征值、特征向量 以及相似矩阵的概念，进而找出对称矩 阵可对角化的条件
§6.1向量的内积 §6.2特征值与特征向量 §6.3相似矩阵 §6.4对称矩阵的相似矩阵
§6.2 特征值与特征向量 §6.1 向量的内积 §6.4 对称矩阵的相似矩阵 §6.3 相似矩阵
第一节简量的内积
内积的定义 y 定义1.设有n维向量x 令[x,y=x1y1+x2y2+…+xyn,称[x,y为向 量x与y的内积。 内积用矩阵乘法可表示为x,y=x2y=yx
一、内积的定义 1 1 2 2 1 1 2 2 ... ... [ ] ... , [ ] [ ] n n n n x y x y n x y x y x y x y x y x, y x, y x y x, y x y y x 设有 维向量 ， 令 称 为向 量 与 的内积。 内积用矩阵乘法可表示 义1. 为 定
内积的性质 设x,y,z为n维向量,为实数 (i)对称性[x,y]=[y,x]; )齐次性[x,y]=[x,y (i)可加性[x+yz]=[x,]+[y,z] 定义2令=√x,x 十x2-十..+x 称是n维向量x的长度(或范数 向量的长度具有下述性质: 画(1)非负性:|x20(2)齐次性:|x|= (3)三角不等式:|x+y≤|x+|y
二、内积的性质 2 2 2 1 2 (i) [ , ] [ , ]; (ii) [ , ] [ , ]; (iii) [ ] [ , ] [ ]. 2. [ ] ... ( ) (1 n n x x x n x, y,z x y y x x y x y x y,z x z y,z x x, x x x 设 为 维向量， 为实数 对称性 齐次性 可加性 令 ， 称 是 维向量 的长度 或范数 。 向量的长度具有下述性质： 定义 ) 0 x x x x y x y 非负性： (2)齐次性： (3)三角不等式：
向量的内积满足施瓦茨不等式 [x,y≤[x,x][y,y 由此可得以1(当1时 从而可定义:当≠0,‖y≠0时, B=arccos xl 称为n维向量x与y的夹角
2 [ , ] [ , ][ , ] [ , ] 1 ( 0 ) 0 0 [ , ] arccos n x y x x y y x y x y x y x y x y x y x y 向量的内积满足施瓦茨不等式 由此可得 当 时 从而可定义：当 ， 时， 称为 维向量 与 的夹角
向量的正交性 当[xy=0时,称向量x与y正交。显然, 零向量与任何向量正交。 正交向量组:把一组两两正交的非零向量 称为正交向量组。 定理1.若n维向量a1,a2,,a是一组两两正交 的非零向量,则a1,a2,,a线性无关 证:设有4 1,2,……5 使 入a1+A2a2+…+入n=0 以a左乘上式两端,得Aa1a1=0,因a1≠0
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 T 1 1 [ ] 0 ... ... ..., ... 1 r r r r r n x, y x y a ,a , ,a a ,a , ,a a a a 0 a 当 时，称向量 与 正交。显然， 零向量与任何向量正交。 正交向量组：把一组两两正交的非零向量 称为正交向量组。 若 维向量 是一组两两正交 的非零向量，则 线性无关。 设有 , , 使 以 左乘上式两端，得 证： 定理 . T 1 1 1 a a 0,因 a 0， 三、向量的正交性
故aa1=|a≠0,从而必有A=0。 类似可得Z2=0、 0. 于是向量组a1,an2,,a,线性无关。 例1.已知3维向量空间R中,设有向量 a2,=-2正交,试求一非零向 量a,使a,n2,a3两两正交
T 2 1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 ... 0 ... r r a a a a ,a , ,a 故 ，从而必有 。 类似可得 、、 ， 于是向量组 线性无关。 3 1 2 3 1 2 3 3 1 1 1 2 1 1 . R a a a a ,a ,a 已知 维向量空间 中，设有向量 ， 正交，试求一非零向 量 ，使 两两正交。 例1
解:记A ,则a3满足齐 次线性方程 Ax=o 由A 101 0-30)(010 得 0 从而有基础解系0。取a3=0即为所求
T 1 T 3 2 1 2 3 1 3 2 3 1 1 1 1 2 1 O 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 ~ ~ 0 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 x x x x x x a A a a A x A a 记 ，则 满足齐 次线性方程 即 由 得 ， 从而有基础解系 。取 解： 即为所求
四、规范正交基 定义3设n维向量e12e2…,e是向量空间vVcR 的一组基,如果e12e2…,e,两两正交,且都是单位 向量,则称e1,e2,!,是V的一组规范正交基。 若e1e2…,e是V的一组规范正交基,那么V中 任一向量a可由e1,e2,,e,线性表示,设表示式为 Ⅱ=1e1+2e2+…+e 用e(i=l,r)左乘上式两端有ea=λele1=λ 即1=ea=[a,e 所以a=[a,e(]e1+{a,e2]e2+…+[a,een
四、规范正交基 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , ,..., ( ) , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., ... 3. n r r r r r r r i n e e e V V R e e e e e e V e e e V V a e e e a e e e e 设 维向量 是向量空间 的一组基，如果 两两正交，且都是单位 向量，则称 是 的一组规范正交基。 若 是 的一组规范正交基，那么 中 任一向量 可由 线性表示，设 义 表示式为 用 定 T T T T 1 1 2 2 ( 1,..., ) [ , ] [ , ] [ , ] ... [ , ] i i i i i i i r r i r e a e e e a a e a a e e a e e a e e 左乘上式两端有 即 所以