2006春季班 线性代数第6章向量空间 第6章向量空间 61向量空间与子空间 设V是n维向量的集合,若Va,B∈V,有 a+B∈V,则称V关于加法封闭;若va∈Ⅳ,k是 常数,有ka∈V,则称V关于数乘封闭 设V是n维向量的非空集合,如果对于向量的加 法和数乘向量这两种运算封闭,则称V是向量空间 若向量空间V的非空子集合W是一个向量空间, 则称W是V的一个子空间 6.2基,维数与坐标,基变换与坐标变换,过渡矩阵 设V是一个向量空间,如果V中有r个线性无关 的向量a1,a2,…,ar,且V中任一向量都可由这r个 向量线性表出,则称向量组a1,a2,…,ax,是空间v的 一个基,基中向量的个数r称为向量空间V的维数.并 称V为r维向量空间 设 c12 ,an是n维向量空间V的一个基,c 是V中任一向量,那么c就可以由这个基唯一地线性 表出,设 C=u11+a2,+.,,、a0m, 则称有序数组a1,a2,…,an为向量a在基 a1,C2,…,Cn下的坐标,记作 1,2,,an
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—1 第 6 章 向量空间 6.1 向量空间与子空间 设V 是n维向量的集合，若∀α,β ∈V ,有 α + β ∈V ，则称V 关于加法封闭；若∀α ∈V ，k 是 常数，有kα ∈V ，则称V 关于数乘封闭． 设V 是 维向量的非空集合，如果对于向量的加 法和数乘向量这两种运算封闭，则称 n V 是向量空间． 若向量空间V 的非空子集合W 是一个向量空间， 则称W 是V 的一个子空间． 6.2 基，维数与坐标，基变换与坐标变换，过渡矩阵 设V 是一个向量空间，如果V 中有 个线性无关 的向量 r α α α r , , , 1 2 L ，且V 中任一向量都可由这r 个 向量线性表出，则称向量组α α α r , , 1 2 ,L 是空间V 的 一个基，基中向量的个数r 称为向量空间V 的维数．并 称V 为r 维向量空间． 设α α α n , , , 1 2 L 是n维向量空间V 的一个基，α 是V 中任一向量，那么α 就可以由这个基唯一地线性 表出，设 α = a1α1 + a2α 2 + L+ anα n， 则称有序数组 a1 ,a2 ,L,an 为向量 α 在 基 α α α n , , , 1 2 L 下的坐标，记作 ( )T X a a an , , , = 1 2 L ．
2006春季班 线性代数第6章向量空间 例1已知a1,a2,a3,a4是向量空间R的一个基, 则选项也是R4的一个基 (A)c1+a2-a3+c4,a1 +a, ta 2 3 +a al t a, -a 35 (B)a1+a2,a2+a a2+a 3 1+c 45 (c) c1-0,-cx,0 3 3 c1+ 4 (D)a1-2a3,a2+a4,201+303,-a2+5a4 例2已知三维线性空间的一个基为 2 a3=(0,1,1),求a=(2,0,0)7在这个基 下的坐标 一个向量空间的基是不唯一的,设a1,a2,…,an 和月1,B2,…,Bn是n维向量空间v的两个基,那么对 于基a1,a2,…,an来说,B1,B2,…,月n作为n维向量 空间的向量就可以由a1,a2,…,an线性表出,假设 它们有如下关系: 111 2102 B2=a12a1 C 2202 十∴+a n2n B=alna+ n 2 2 ∴+an,C
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—2 例 1 已知 1 2 3 4 α ,α ,α ,α 是向量空间 4 R 的一个基， 则选项 也是 4 R 的一个基． （A） α1 + α 2 −α 3 + α 4 ， α1 + α 2 + α 3 + α 4 ， α1 +α 2 −α 3； （B）α 1 + α 2，α 2 + α 3，α 3 + α 4，α1 + α 4； （C）α1 −α 2，α 2 −α 3，α 3 −α 4，− α 1 + α 4； （D）α1 − 2α 3，α 2 + α 4，2α1 + 3α 3， 2 4 − α + 5α ． 例 2 已知三维线性空间的一个基为 ( )T 1, 1, 0 α 1 = ， ( ) T 1, 0, 1 α 2 = ， ( )T α 3 = 0, 1, 1 , 求 ( ) T α = 2, 0, 0 在这个基 下的坐标． 一个向量空间的基是不唯一的，设α α α n , , , 1 2 L 和β β β n , , , 1 2 L 是n维向量空间V 的两个基，那么对 于基α α α n , , , 1 2 L 来说，β β β n , ,L, 1 2 作为 维向量 空间V 的向量就可以由 n α α α n , , , 1 2 L 线性表出，假设 它们有如下关系： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n a a a a a a a a a β α α α β α α α β α α α L LLLLLLLLLLLL L L 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1
2006春季班 线性代数第6章向量空间 12 令A= 21a22 2 其中第i列就是B1在基a1,a2,…,Cn下的坐标.于是 上式可写作 (B1,B2 2 Bn)=a 2 称A是由基a1,a2,…,Cn到基B1,B2,…,Bn的过渡 矩阵 过渡矩阵是可逆矩阵 设a1,a2,…,an和B1,B2,…,Bn是n维向量空 间V的两个基,由基a1,a2,…,an到基B1,B2,,Bn 的过渡矩阵是P,又a∈V在基a1,a2,,an和 B1,B2,…,Bn下的坐标分别是 152,… ,)和Y=(v 1,y2,……y 于是(B1,B2,,Bn)=(a1,a2,…,an)P, 且a 1 )X及a=(B1,月2,…,Bn)y 则向量a在这两个基下的坐标有如下关系: X= PY 或 Y=PX
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—3 令 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n nn n n a a a a a a a a a A L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 其中第i列就是β i在基α α α n , , , 1 2 L 下的坐标．于是 上式可写作 (β 1 , β 2 , L, β n ) = (α1 , α 2 , L, α n )A， 称 A是由基α α α n , , , 1 2 L 到基β β β n , , , 1 2 L 的过渡 矩阵． 过渡矩阵是可逆矩阵． 设α α α n , , , 1 2 L 和 β β β n , , , 1 2 L 是 维向量空 间V 的两个基，由基 n α α α n , , , 1 2 L 到基β β β n , , , 1 2 L 的过渡矩阵是 P ，又α ∈V 在基α α α n , , , 1 2 L 和 β β β n , , , 1 2 L 下的坐标分别是 ( )T X x x xn , , , = 1 2 L 和 ( ) T n Y y , y , , y = 1 2 L ， 于是 (β 1 ,β 2 ,L,β n ) = (α1 ,α 2 ,L,α n )P， 且α = (α1 ,α 2 ,L,α n )X 及α = (β 1 ,β 2 ,L,β n )Y ， 则向量α 在这两个基下的坐标有如下关系： X = PY 或 Y P X −1 = ．
2006春季班 线性代数第6章向量空间 例3已知R的两个基为a1 2 0 0和B1=2,B2=3,月3=4.求由 基a1,a2,a3到基B1,B2,B3的过渡矩阵. 例4已知a1,a2,a3,C4是4维向量空间的一个基 B1=a1+a2+a3+a4,B2=a2+a3+a4 3 a3+a 3 4 (1)证明1,f2,月3,B4是V的一个基; (2)求由基1,B2,B3,B4到基a1,ax2,a3,a4的 过渡矩阵; (3)求在基a1,a2,a3,a4和基B1,月2,B3,B4下 坐标相同的向量 例5已知R3的向量y在基a1=(1,0,1)y a2=(,1,),a3=(,0,0)下的坐标是 ,0,-1),求γ在基β1=(l,2,0)y, B3=(0,1,-1)下的坐标
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—4 例3 已知 3 R 的两个基为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 α1 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 α 2 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 α 3 和 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 β 1 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 3 2 β 2 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 4 3 β 3 ．求由 基 1 2 3 α ,α ,α 到基 1 2 3 β , β , β 的过渡矩阵． 例4 已知 1 2 3 4 α ,α ,α ,α 是４维向量空间V 的一个基 β 1 = α1 +α 2 +α 3 +α 4 ， β 2 = α 2 +α 3 +α 4 ， β 3 = α 3 +α 4，β 4 = α 4． （１） 证明 1 2 3 4 β , β , β , β 是V 的一个基； （２） 求由基 1 2 3 4 β , β , β , β 到基 1 2 3 4 α ,α ,α ,α 的 过渡矩阵； （３） 求在基 1 2 3 4 α ,α ,α ,α 和基 1 2 3 4 β , β , β , β 下 坐标相同的向量． 例５ 已知 3 R 的向量 γ 在基 ( ) T 1, 0, 1 α 1 = ， ( ) ， T 1, 1, 1 α2 = ( ) T α 3 = 1, 0, 0 下的坐标是 ( ) ， 求 T 1, 0, − 1 γ 在 基 ( ) T 1, 2, 0 β 1 = ， ( ) ， T 1, 1, 2 β 2 = − ( T β 3 = 0, 1, − 1) 下的坐标．
2006春季班 线性代数第6章向量空间 6.3内积,正交化,标准正交基 设n维向量a=(a1,a2,…,an), B=(b1,h2,…,bn),则称 (a,B)=ab1+a2b2 +.+a,bn=aB 为向量a与B的内积 向量的内积有以下性质: (1)(a,B)=(,a); (2)(a+B,y)=(a,y)+(B,y) (3)(ka,B)=k(x,B),其中k为实数 (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时,(ax,a)=0. 当(a,日)=0时,称向量a与B正交 一组两两正交的非零向量称为正交向量组 若a1,C2,…,as是正交向量组,则a1,C2,…,a3 线性无关 设a=(a1,a2,…,an),定义向量的长度为 1 a)+…a 当a=1时,称a为单位向量 对给定的向量a,是与a同方向的单位向量 当向量空间的基是一个正交向量组时,称为正交 基
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—5 6.3 内积，正交化，标准正交基 设n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ， ( )T b b bn , , , β = 1 2 L ，则称 α β α β T ( , ) = a1b1 + a2b2 +L+ anbn = 为向量α 与β 的内积． 向量的内积有以下性质： （１）(α, β ) = (β ,α)； （２）(α + β ,γ ) = (α,γ )+ (β ,γ )； （３）(kα, β ) = k(α, β )，其中k 为实数； （４）(α,α) ≥ 0，当且仅当α = 0时，(α,α) = 0． 当(α, β ) = 0时，称向量α 与β 正交． 一组两两正交的非零向量称为正交向量组． 若α α α s , , , 1 2 L 是正交向量组，则α α α s , , , 1 2 L 线性无关． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 L ，定义向量的长度为 α ＝ ( ) α,α ＝ 2 2 2 2 1 n a + a +L+ a ． 当α ＝１时，称α 为单位向量． 对给定的向量α ， α α 是与α 同方向的单位向量． 当向量空间的基是一个正交向量组时，称为正交 基．
2006春季班 线性代数第6章向量空间 当向量空间的正交基的每个向量都是单位向量 时,称为标准正交基(也叫规范正交基) 设a1,a2,…,Cx是一组线性无关的向量,求一组 与a1,a2,…,a等价的两两正交的单位向量的方法 叫施密特( Schmidt)正交化方法.第一步先作正交 化 令B1=a1 a, 2(B1,B1) (ax,月 阝=as(B,B1)1-(B2,B2) (B-1,B 第二步再对已经正交的向量作单位化 ys 这是与a1,a2,…,C等价的两两正交的单位向量 例6在R4中求一个b单位向量,使它与 C;= 0= 2 a3=(2,1,-3,3)都正交
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—6 当向量空间的正交基的每个向量都是单位向量 时，称为标准正交基（也叫规范正交基）． 设α α α s , , , 1 2 L 是一组线性无关的向量，求一组 与α α α s , , , 1 2 L 等价的两两正交的单位向量的方法 叫施密特（Schmidt）正交化方法．第一步先作正交 化． 令β 1 = α 1, ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 β β β α β β α ， ， = − ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 , , , , , , − − − − = − − − − i i i s s s i s s β β β α β β β β α β β β β α β β α L 第二步再对已经正交的向量作单位化： , 1 1 1 β β γ = , 2 2 2 β β γ = s s s β β L,γ = 这是与α α α s , , , 1 2 L 等价的两两正交的单位向量． 例６ 在 4 R 中求一个 b 单 位向量，使它与 ( ) ， T 1, 1, 1, 1 α 1 = − ( ) T 1, 2, 2, 2 α 2 = − ， ( ) 都正交． T α 3 = 2, 1, − 3, 3
2006春季班 线性代数第6章向量空间 例7设B是秩为2的5×4矩阵, a1=(,1,2,3),a2=(-1,1,4,-n) a3=(5,-1,-8,9)是齐次线性方程组 BX=0的解向量,求BX=0的解空间的一个标准正 交基 例8设R中向量a1,a2,…,an1线性无关, y1,y2与a1,a2,…,Cn-1都正交,试证明y1,y2 线性相关 例9设尸=(b1,b2,…,bn)是齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 21x1+a22x2+…+a2nxn=0 amIx1tam2x2+.+amman=0 的一个非零解.令 11129u1n 2=(21, 22 a m1,m2,,mn 若当m<n时a1,a2,…,axm2线性无关 试证明a1,a2,…,Om,月线性无关
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—7 例７ 设B是秩为 2 的5× 4矩阵， ( )T 1, 1, 2, 3 α 1 = , ( ) T 1, 1, 4, 1 α 2 = − − ， ( T α 3 = 5, − 1, − 8, 9) 是齐次线性方程组 BX = 0的解向量，求BX = 0的解空间的一个标准正 交基． 例8 设 n R 中向量 1 2 1 , , , α α L α n− 线性无关， 1 2 γ ,γ 与 1 2 1 , , , α α L α n− 都正交，试证明 1 2 γ ,γ 线性相关． 例9 设 是齐次线性方程组 T b b bn ( , , , ) β = 1 2 L ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x L LLLLLLLLLLLL L L 的一个非零解．令 ( )T 1 a11 a12 a1n α = , ,L, , ( ) T 2 a21 a22 a2n α = , ,L, , ( )T m am am amn , , , , L α = 1 2 L , 若当m < n时α1 ,α 2 ,L,α m线性无关， 试证明 , , , , α1 α 2 L α m β 线性无关．
2006春季班 线性代数第6章向量空间 64正交矩阵 满足条件AA=I的实方阵称为正交矩阵 性质: (1)A是正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT (2)若A是正交矩阵,则A=±; (3)A是正交矩阵的充分必要条件是A的n个列 (行)向量是两两正交的单位向量 (4)A是正交矩阵的充分必要条件是A的n个列 (行)向量构成一组标准正交基; (5)若A是正交矩阵则A,A-,4仍是正交 矩阵; (6)若A,B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵. (7)两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵 例10a是R"的单位向量,证明矩阵A=I-2aaT 是正交矩阵
2006 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6—8 6.4 正交矩阵 满足条件 A A I T = 的实方阵称为正交矩阵． 性质: （１）A是正交矩阵的充分必要条件是 ； （２）若 是正交矩阵，则 T A = A −1 A A = ±1； （３） 是正交矩阵的充分必要条件是 的 个列 （行）向量是两两正交的单位向量． A A n （４） 是正交矩阵的充分必要条件是 的 个列 （行）向量构成一组标准正交基； A A n （５）若 A是正交矩阵则 ， T A −1 A ， 仍是正交 矩阵； k A （６）若 A,B都是正交矩阵，则 AB也是正交矩阵． （７）两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵． 例 10 α 是 n R 的单位向量，证明矩阵 T A = I − 2αα 是正交矩阵．
