第三章 多维随机变量及其分布 魑一、二维随机变量 二、边缘分布 多三、相互独立的随机变量 多四、两个随机变量的函数的分布
第三章 多维随机变量及其分布 一、二维随机变量 二、边缘分布 三、相互独立的随机变量 四、两个随机变量的函数的分布
第一节二维随机变量 在许多随机试验中,需要考察的数量指标不止一个。 例如1考察某地区学龄前儿童的身体发育情况,对这 地区的儿童进行检查,需同时测量他们的身高和体 重,则得到两个随机变量X,Y可用(X,Y)来描述儿童 的发育情况。 2射击,如果在靶纸上没有平面坐标系,那 弹着点就可用随机变量横坐标和纵坐标描述
第一节 二维随机变量 在许多随机试验中，需要考察的数量指标不止一个。 例如1.考察某地区学龄前儿童的身体发育情况，对这 一地区的儿童进行检查，需同时测量他们的身高和体 重，则得到两个随机变量 可用 来描述儿童 的发育情况。 2.射击，如果在靶纸上没有平面坐标系，那 弹着点就可用随机变量横坐标和纵坐标描述
定义1设随机试验E的样本空间是S={e},设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,则由它们构成的 个向量(xY)称为二维随机变量或二维随机向量。 定义2设(X,Y是二维随机变量,对于任意实数x,y, 二元函数F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)} =P{X≤x,≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或联合分布函数
定义1 设随机试验 的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一 个向量 称为二维随机变量或二维随机向量。 定义2 设 是二维随机变量，对于任意实数 二元函数 = P X x Y y { , } 称为二维随机变量 的分布函数，或联合分布函数。 F(x) = P{X x}
二维分布函数的几何意义 F(x,y)在(x,y8处的函数值 随机点(x,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方 矩形开域上的概率 所以P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2} F(x2,y2)-F(x1y2)-F(x2y)+F(x12y) (x12y2)(x2,y2)
二维分布函数的几何意义 在 处的函数值: 随机点 落在以 为顶点的左下方 矩形开域上的概率。 (x, y) x y 0 2 1 ( , ) x y 2 2 ( , ) x y 1 2 ( , ) x y 1 1 ( , ) x y y 2 x 1 x 1 y 2 y 0 x 所以 2 2 1 2 2 1 1 1 = − − + F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
性质: ①F(x,y)是变量x和y的不减函数,即 对任意固定的y,当x2>x时F(x2y)≥F(x,y) 对任意固定的x,当y>y时F(x,y2)≥F(x,y1) ②0≤F(x,y)≤1 F(-∞2y)=0,F(x2-∞)=0,F(-∞,-∞)=0 F(+∞,+∞)=1. ③F(x,y)关于x,y右连续,即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)
性质： ① 是变量 和 的不减函数，即 对任意固定的 ，当 时， 对任意固定的 ，当 时， ② 0 ( , ) 1 F x y ③ 关于 右连续，即 F(−, y) = 0, F(x,−) = 0, F(+,+) =1
例1.设(x,Y)的分布函数为 F(x, y)=A(B+arctan (C+arctan 求常数ABC的值及概率P(X≤3y≤4} 解由分布函数的性质 =F(3,4 16 F(+,+∞)=1,F(-∞,+∞)=0,F(+,-∞)=0 A(B+)(C+)=1 A A(B-C+)=0一B A(B+(C-1=0 xπ-2π-2 2
F( , ) 1, + + = F( , ) 0 , − + = F(+ ,−) = 0 (X ,Y) ) 4 )( arctan 3 ( , ) ( arctan y C x F x y = A B + + P X Y { 3, 4}. 例1. 设 的分布函数为 求常数 A B C , , 的值及概率 解 由分布函数的性质 得 ) 1 2 )( 2 ( + + = A B C ) 0 2 )( 2 ( − + = A B C ) 0 2 )( 2 ( + − = A B C 2 1 A = 2 B = 2 C = = F(3, 4) 16 9 =
二维离散型随机变量 定义:若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值(x2y) ij=12,…是有限对或可列无限多对时,则称(X,Y)为 离散型随机变量 PX=x,Y=y}=P/(i,j=1,2,…) 称为二维随机变量(X,Y)的分布律 性质:1)P1202)∑∑P/=1
定义： 若二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值 ( , ), i j x y i j , 1,2, = 是有限对或可列无限多对时，则称 (X ,Y) 为 离散型随机变量。 一、二维离散型随机变量 P{X = xi ,Y = y j } = pi j (i , j =1, 2 , ) 称为二维随机变量 (X ,Y) 的分布律。 1) 0 i j p 2) 1 1 1 = = i j= 性质： pi j
例2将骰子抛两次,X第一次出现的点数, Y第二次出现的点数,求(X,Y)的分布律。 解 Y 12 4 6 ●●●●●●。● 36 36 P{X=1,y=1}=P{X=1}P{Y=1} 36
例2、将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： X Y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
例3.一袋中有四个球上面分别标有数字1,2,2,3从 袋中任取一球后不放回再从袋中任取一个球以X,Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字,求(X,) 的分布律。 解X,Y可能取值均为1,2,3. 1=P{X=1,Y=1} =P{X=1}P{Y=1X=1}=×0=0 P12=PiY Y=2} 12 P{X=1}P{Y=2X=1}=2 436
例3.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X Y, 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 (X ,Y) 的分布律。 解 X Y, 可能取值均为1,2,3. 11 p P X Y = = = { 1, 1} 12 p P X Y = = = { 1, 2} 1 { 1} { 1| 1} 0 0 4 = = = = = = P X P Y X 1 2 1 { 1} { 2 | 1} 4 3 6 = = = = = = P X P Y X
同理可得 n3=1/4×1/3=1/12,P21=2/4×1/3=1/6 p2=2/4×1/3=1/6,P23=2/4×1/3=1/6 p1=1/4×1/3=1/12,P2=1/4×2/3=1/6 P3=1/4×0=0 所以(X,Y)的分布律为 、F 2 0 1/6 /12 1/61/6 1/6 1/121/6 0
13 p = = 1/ 4 1/ 3 1/12 , 21 p = = 2/ 4 1/ 3 1/ 6 22 p = = 2/ 4 1/ 3 1/ 6 , 23 p = = 2/ 4 1/ 3 1/ 6 同理可得 31 p = = 1/ 4 1/ 3 1/12 , 32 p = = 1/ 4 2/ 3 1/ 6 33 p = = 1/ 4 0 0 . 所以 (X ,Y) 的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 X 1 2 3 Y