2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 第7章特征值与特征向量 7.1特征值和特征向量的定义,性质与计算 设A是n阶方阵,若存在非零向量x和常数λ, 使得Ax=Ax,则称是A的特征值,x是A的属于 特征值λ的特征向量 例1已知x=(-1,1,k)是矩阵 A=-3-50的特征向量,求k 3-61 f4(4)=a-A 12 n 21 22 2 n2 称为矩阵A的特征多项式,A-4=0叫特征方程 0-2-2 例2矩阵22-2的非零特征值是 2-22 矩阵A的特征向量有两个重要性质 (1)若X1,X2都是A的属于特征值λ的特征向量, 则X1+X2也是A的属于特征值九的特征向量;
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—1 第 7 章 特征值与特征向量 7.1 特征值和特征向量的定义，性质与计算 设 A是n阶方阵，若存在非零向量 x和常数λ ， 使得 Ax = λx，则称λ 是 A的特征值， x是 的属于 特征值 A λ 的特征向量． 例 1 已知 ( ) 是矩阵 T x = − 1, 1, k ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − − 3 6 1 3 5 0 4 6 0 A 的特征向量，求k ． f A (λ) = λI − A n n nn n n a a a a a a a a a − − − − − − − − − = λ λ λ L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ． 称为矩阵 A的特征多项式， λI − A = 0叫特征方程． 例 2 矩 阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − 2 2 2 2 2 2 0 2 2 的非零特征值是 ． 矩阵 A的特征向量有两个重要性质： （１）若 X1 , X2都是 A的属于特征值λ 的特征向量， 则 X1 + X2也是 A的属于特征值λ 的特征向量；
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 (2)若X是A的属于特征值的特征向量,k是非 零常数,则kX也是A的属于特征值λ的特征向量 如果将全体属于λ的特征向量再添一个零向量构 成一个集合,记作Vx,那么这个集合关于向量的加法 和数乘向量这两种运算都是封闭的,也就是说,V是 R"的一个子空间,称为特征子空间.这个特征子空 间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特征 向量.特征子空间的维数就是属于这个特征值的线性 无关的特征向量的最多个数.求某个特征值的特征向 量就要将它的全体特征向量表示出来,就等于说求出 特征子空间的基的线性组合 矩阵的特征值与矩阵的其他参数有两个很重要 关系,他们是 (1)矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹(矩阵 的主对角元之和)即 ∑ =t4 ∑an (2)矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列 式,即 Ta;=det A
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—2 （２）若 X 是 A的属于特征值λ 的特征向量, k 是非 零常数，则kX 也是 A的属于特征值λ 的特征向量． 如果将全体属于λ 的特征向量再添一个零向量构 成一个集合，记作Vλ，那么这个集合关于向量的加法 和数乘向量这两种运算都是封闭的，也就是说，Vλ是 n R 的一个子空间，称为特征子空间．这个特征子空 间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特征 向量．特征子空间的维数就是属于这个特征值的线性 无关的特征向量的最多个数．求某个特征值的特征向 量就要将它的全体特征向量表示出来，就等于说求出 特征子空间的基的线性组合． 矩阵的特征值与矩阵的其他参数有两个很重要 关系，他们是 （１） 矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹（矩阵 的主对角元之和）即 ∑ ∑ = = = = n i ii n i i trA a 1 1 λ ； （２） 矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列 式，即 A n i i det 1 ∏ = = λ ．
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 一些有用的结论 (1)若λ是A的特征值,则k是k4的特征值,其 中k是常数 (2)若元是A的特征值,则是A2的特征值 (3)若元是A的特征值,且A可逆,则是A-的 特征值 (4)若λ是A的特征值,f(x)是一个多项式,则 ∫(4)是∫(4)的特征值 例3A是三阶矩阵,A-的特征值是1,2,3,则A 的代数余子式A1+A2+A3=? 例4已知A=5b3,4=-1,A的 1-c0 个特征值九对应的特征向量a=( 1),求 a b.c. 例5设n阶矩阵的所有元素都是1,求A的特征值 7.3相似矩阵的概念及性质 设A是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使得 P-AP=B,则称B相似于A 方阵的相似是矩阵之间的一种等价关系.他们有
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—3 一些有用的结论． （１） 若λ 是 A的特征值，则kλ 是kA的特征值，其 中k 是常数． （２） 若λ 是 A的特征值，则 2 λ 是 的特征值． 2 A （３） 若λ 是 A的特征值，且 A可逆，则λ 1 是 的 特征值． −1 A （４） 若λ 是 A的特征值，f (x)是一个多项式,， 则 f (λ)是 f (A)的特征值． 例 3 A是三阶矩阵， −1 A 的特征值是 1，2，3，则 A 的代数余子式 A11 + A22 + A33 =？ 例4 已知 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = c a b a c A 1 0 5 3 1 ，A = −1， 的一 * A 个特征值λ 对应的特征向量 ( ) T α = − 1 − 1 1 ，求 a,b, c,λ ． 例5 设n阶矩阵的所有元素都是 1，求 A的特征值． 7.3 相似矩阵的概念及性质 设 A 是 阶方阵，若存在可逆矩阵 ，使得 ，则称 相似于 ． n P P AP = B −1 B A 方阵的相似是矩阵之间的一种等价关系．他们有
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 (1)反身性:每个方阵都和自己相似; (2)对称性:若A和B相似,则B和A也相似; (3)传递性:若A和B相似,B和C相似,则A和C 也相似 相似矩阵有相同的秩,相同的特征多项式,相同 的特征值,相同的迹,相同的行列式等. 例6若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为 2’3'4’5 ,则行列式B-1-1= 例7设 4000 l111 0000 111 B 则A与B 0000 0000 (A)合同且相似.(B)合同但不相似 (C)不合同但相似.(D)不合同且不相似 例8已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组 x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax-2A2x 1)记P=(,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使 A= PBP (2)计算行列式A+1
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—4 （１）反身性：每个方阵都和自己相似； （２）对称性：若 A和B相似，则B和 A也相似； （３）传递性：若 A和B相似，B和C 相似，则 A和C 也相似． 相似矩阵有相同的秩，相同的特征多项式，相同 的特征值，相同的迹，相同的行列式等． 例 6 若四阶矩阵 A与B相似，矩阵 A的特征值为 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ，则行列式 B − I −1 = ． 例 7 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B ．则 A与B (A) 合同且相似． (B) 合同但不相似． (C) 不合同但相似． (D) 不合同且不相似． 例 8 已知3阶矩阵 A与三维向量 x ，使得向量组 x, Ax, A2 x线性无关，且满足 A x Ax A x 3 2 = 3 − 2 ． (1) 记 P (x Ax A x) 2 = , , ，求３阶矩阵 B ，使 −1 A = PBP ； (2) 计算行列式 A + I ．
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 例9设A,B为同阶方阵, (1)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相 等 (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不 成立 (3)当A,B均为实对称矩阵时,试证(1)的逆 命题成立 7.4方阵的相似对角化 方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性 无关的特征向量 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 例10设几1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的 特征向量分别为a1,a2,则a1,A(a1+a2)线性无关 的充分必要条件是 (A)A1≠0 B),≠0 ()x1=0.(D)a2 例11设A为三阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的三 维列向量,且满足 Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3, Aa3=2a2+33 (1)求矩阵B,使得 A(a1,a2,a3)=(a1,a2,O3)B;
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—5 例 9 设 A,B为同阶方阵， （１）如果 A,B相似，试证 A,B的特征多项式相 等． （２）举一个二阶方阵的例子说明 的逆命题不 成立． (1) （３）当 A,B均为实对称矩阵时，试证 的逆 命题成立． (1) 7.4 方阵的相似对角化 方阵 A可对角化的充分必要条件是 有 个线性 无关的特征向量． A n 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 例 10 设 1 2 λ ,λ 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的 特征向量分别为 A 1 2 α ,α ，则 ( ) α 1 A α 1 + α 2 , 线性无关 的充分必要条件是 (A) 0 λ1 ≠ . (B) 0 λ 2 ≠ . (C) 0 λ1 = . (D) 0 λ 2 = . 例 11 设 A为三阶矩阵， 1 2 3 α ,α ,α 是线性无关的三 维列向量，且满足 Aα 1 = α 1 +α 2 +α 3 ， Aα 2 = 2α 2 +α 3 ， Aα 3 = 2α 2 + 3α 3 (1) 求矩阵B，使得 A(α 1 ,α 2 ,α 3 ) = (α 1 ,α 2 ,α 3 )B；
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 (2)求矩阵A的特征值; (3)求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵 2-3 例12设矩阵A=-14-3的特征方程有一个 二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化 例13设n阶方阵A满足A2-5A+6=0,试证明 矩阵A和对角矩阵相似 b 例14设n阶矩阵。b1…b bb (1)求A的特征值和特征向量 (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵 7.5实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值一定是实数.也就是说,n阶 方阵一定有n个实的特征值 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交 实对称矩阵的这个性质,使我们可以找到正交矩 阵,使得实对称矩阵和对角矩阵既相似又合同
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—6 (2) 求矩阵 A的特征值； (3) 求可逆矩阵P ，使得P AP −1 为对角矩阵. 例 12 设矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 5 1 4 3 1 2 3 a A 的特征方程有一个 二重根，求a的值，并讨论 A是否可相似对角化． 例 13 设n阶方阵 A满足 5 6 0 2 A − A + I = ，试证明 矩阵 A和对角矩阵相似． 例 14 设n阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 L L L L L L L b b b b b b A ， （1）求 A的特征值和特征向量； （2）求可逆矩阵P ，使得P AP −1 为对角矩阵． 7.5 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的特征值一定是实数．也就是说，n阶 方阵一定有n个实的特征值． 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交. 实对称矩阵的这个性质，使我们可以找到正交矩 阵，使得实对称矩阵和对角矩阵既相似又合同．
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 例15设3阶实对称矩阵A的秩为2,1=2=6是 A的二重特征值,若a1=(,1,0)y, a2=(2,1,1),a3=(-1,2,-3)都是A的 属于特征值6的特征向量, (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A. 实对称矩阵是一定和对角矩阵相似的,也就是说 它是一定可以对角化的.它的对角化有2种形式.它 既可以和对角矩阵相似,也可以和对角矩阵既相似同 时还合同.就是说,对于实对称矩阵A,总存在可逆 矩阵P,使它和对角矩阵D相似, PAP=D, 或存在正交矩阵Q,使它和对角矩阵A既相似又合 同, 0A0=0 A0=A. 另外,它可以和对角矩阵合同,即存在可逆矩阵T, 使它和对角矩阵C合同, T AT=C 给定实对称矩阵A,求正交矩阵Q使其对角化的 步骤是: (1)设-A=0,求出A的特征值 n
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—7 例 15 设 3 阶实对称矩阵 A的秩为 2， 6 λ1 = λ 2 = 是 A的二重特征值，若 ( ) T 1, 1, 0 α 1 = ， ( )T 2, 1, 1 α 2 = ， ( ) T α 3 = − 1, 2, − 3 都是 的 属于特征值 6 的特征向量， A （１） 求 A的另一特征值和对应的特征向量； （２） 求矩阵 A． 实对称矩阵是一定和对角矩阵相似的，也就是说 它是一定可以对角化的．它的对角化有 2 种形式．它 既可以和对角矩阵相似，也可以和对角矩阵既相似同 时还合同．就是说，对于实对称矩阵 ，总存在可逆 矩阵 ，使它和对角矩阵 A P D相似， P AP = D −1 ， 或存在正交矩阵Q ，使它和对角矩阵Λ 既相似又合 同， = = Λ − Q AQ Q AQ 1 T ． 另外，它可以和对角矩阵合同，即存在可逆矩阵Ｔ， 使它和对角矩阵C 合同， T AT C T = ． 给定实对称矩阵 ，求正交矩阵Q使其对角化的 步骤是： A （１） 设 λI − A ＝０，求出 A的特征值 λ λ λ n , , , 1 2 L ；
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 (2)对每个特征值,解齐次线性方程组 (a-4)x=0,求出对应的特征向量.如果特征值 是单根,就对应一个特征向量;如果特征值是几重根, 就对应几个线性无关的特征向量; (3)对于重的特征值,将对应它的那组特征向量 施行施密特正交化.对每个重特征值对应的特征向量 全都正交化并单位化以后,所有的特征向量 q1,q2,…,qn就构成了一个正交向量组 (4)将所有正交的特征向量按列排成一个矩阵, 令其为Q=(q1,q2,,n),那么Q是正交矩阵.有 2A0=0 AQ 注意:Q=(q1,q2,…,qn)中q1,q2,…,qn的排列顺序 要和特征值A1,A2,…,n的排列顺序一致,使得q;恰 是λ的特征向量. 例16设x=(12)是A=|10a的特征 2 向量,求a,b的值,并求正交矩阵P使得 P-AP为对角阵
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—8 （２） 对每个特征值λ ，解齐次线性方程组 (λI − A)x = 0，求出对应的特征向量．如果特征值 是单根，就对应一个特征向量；如果特征值是几重根， 就对应几个线性无关的特征向量； （３） 对于重的特征值，将对应它的那组特征向量 施行施密特正交化．对每个重特征值对应的特征向量 全都正交化并单位化以后，所有的特征向量 就构成了一个正交向量组； q q qn , , , 1 2 L （４） 将所有正交的特征向量按列排成一个矩阵， 令其为 ( , , , )，那么Q是正交矩阵．有 Q = q1 q2 L qn Q AQ Q AQ T = −1 ＝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ n λ λ O 2 1 ， 注意： 中 的排列顺序 要和特征值 ( , , , ) Q = q1 q2 L qn q q qn , , , 1 2 L λ λ λ n , , , 1 2 L 的排列顺序一致，使得 恰 是 qi λ i的特征向量． 例16 设 ( ) 是T x = 1 1 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = a b A a 2 1 0 0 1 2 的特征 向量，求 a,b 的值，并求正交矩阵 P 使得 P AP −1 为对角阵．
2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 7-9 例17设实对称矩阵A=1a-1|,求可逆矩 阵P,使PAP为对角矩阵,并计算行列式A-I的 值 例18设矩阵A=1a1,b=1.已知线 性方程组Ax=b有解但不惟一,试求 (1)a的值; (2)正交矩阵Q,使QAQ为对角矩阵 76相似对角化的应用 k 例19求2-22
2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—9 例 17 设实对称矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − a a a A 1 1 1 1 1 1 ，求可逆矩 阵P ，使P AP −1 为对角矩阵，并计算行列式 A − I 的 值． 例 18 设矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 1 1 a a a A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 1 b ．已知线 性方程组 Ax = b有解但不惟一，试求： （1）a的值； （2）正交矩阵Q，使Q AQ为对角矩阵． T 7.6 相似对角化的应用 例 19 求 k ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ．