第一节 随机变量的数学期望 、数学期望的概念 、离散型数学期望 连续性数学期望 四、随机变量函数的数学期望 五、数学期望的性质
四、随机变量函数的数学期望 一 、数学期望的概念 第一节 随机变量的数学期望 五、数学期望的性质 二、离散型数学期望 三 、连续性数学期望
关于数字特征的概述 分布函数和密度函数是对随机变量的精密刻画在对具体 问题的研究中中,求出随机变量的具体分布函数或密度函数 是一件相当困难的事情,有时,也没有必要。 看一下大家普遍关注的问题,就是大学生初次就业的起薪 起薪可以看作是一个随机变量,要明确的写出来他的分布 函数是一件不可能的事情实际上,我们更关注平均数 以及高低差额问题 平均数和高低差用一个数字在某种意义上对随机变量 (起薪进行了刻画我们称之为随机变量的数字特征
关于数字特征的概述 分布函数和密度函数是对随机变量的精密刻画,在对具体 问题的研究中中，求出随机变量的具体分布函数或密度函数 有时，也没有必要。 看一下大家普遍关注的问题，就是大学生初次就业的起薪 起薪可以看作是一个随机变量，要明确的写出来他的分布 函数是一件不可能的事情 实际上，我们更关注平均数 以及高低差额问题 平均数和高低差用一个数字在某种意义上对随机变量 (起薪)进行了刻画 我们称之为随机变量的数字特征 是一件相当困难的事情
1离散型随机变量的数学期望 引例某车间对工人的生产情况进行考察。 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量 Ⅹ的取值为0,1,2,3。现在考虑x的平均值 若统计100天,可以得到这100天中每天的平均废品数为 (0+…+0)+(1+…+1)+(2+…+2)+(3+…+3) 100 32 30 17 21 3230 21 0 +1 +2.77 +3 1.27 100100100100
若统计100天, 车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量. 1.27 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 + + + = 可以得到这100天中每天的平均废品数为 引例 某车间对工人的生产情况进行考察。 X 的取值为0，1，2，3。 现在考虑X 的平均值 (0 0) (1 1) (2 2) (3 3) 100 1 ++ + ++ + ++ + ++ 1 离散型随机变量的数学期望
一般来说,若统计n天,可以得到n天中平均每天的废品数为 1.n+2 n2 +3 n n 由频率和概率的关系N取得非常大时频率趋向于概率 用概率代替频率,得平均值为 0·p0+1·n+2·P2+3·P3 这是一个以概率作为权重,对各个可能取值进行的加权平均 般在概率论里把这种加权平均称为数学期望
n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2 + 3 一般来说,若统计n天, 可以得到n 天中平均每天的废品数为 由频率和概率的关系 用概率代替频率，得平均值为 N取得非常大时,频率趋向于概率 这是一个以概率作为权重，对各个可能取值进行的加权平均 一般在概率论里把这种加权平均称为数学期望
定义设离散型随机变量x的分布律为 P(X=xk}=Pk2(k=1,2,3…) 若级数∑|xpk绝对收敛 则称此级数的和为的数学期望。 简称期望或均值,记为E.或E(X) 即 EX=∑xPk
= = k 1 k pk EX x =1 | | k k k 若级数 x p 绝对收敛 。 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X = x } = p ,(k =1,2,3, ) k k 简称期望或均值，记为 EX. 或 E(X) 则称此级数的和为X 的数学期望。 即 定义
例1某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能 打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去 开门.若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次 数的数学期望. 解:设试开次数为x b(X=r K=5… 于是EH=∑k.1=1.(+)=m+1 k=1 2 2
某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去 开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次 数的数学期望. 解: 设试开次数为X, = = n k n EX k 1 1 2 1 (1 n)n n + = 2 +1 = n 于是 例1 ( ) 1,2, , . 1 k n n P X = k = =
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甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数； 试问哪一个人的射击水平较高？ 0.1 0.3 0.6 8 9 10 k p X 8 9 10 0.2 0.5 0.3 k Y p 解： 甲、乙的平均环数可写为 EX = 80.1+ 90.3+10 0.6 = 9.5 EY =80.2+90.5+100.3 = 9.1 因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好． 例2
(0,1)分布的数学期望 设X~(0,1)求E(X) E(X)=P×1+0×(1-P)=P
（0，1）分布的数学期望 设X~(0,1) 求E(X)
常用级数求和公式技巧 2 1.ex=1+x++ 2!3! k =0 ! CO 2∑mnx1=∑anx n=」
常用级数求和公式技巧 2 3 1. =1+ 2! 3! x x x e x +++ 0 = ! k k x k = 1 n=1 2. n na xn − n=1 ( ) n n a x =
泊松分布的数学期望 已知X服从泊松分布,求数学期望x(y) k 解:E(X)=∑k,e k=0 k! k e∑ k(k-1) 2k-1 ne=n k(k-1)!
泊松分布的数学期望 已知X服从泊松分布, 求数学期望