求矩阵的秩 求矩阵的秩有下列基本方法 (1)用初等变换.即用矩阵的初等行(或列) 变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶梯形 矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而初等 变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩阵中 非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩 2)计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的子式 开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一个子 式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩(很少用)
求矩阵的秩有下列基本方法 （1）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列） 变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形 矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等 变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中 非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩． （2）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式 开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子 式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩(很少用). 一、求矩阵的秩
001 例1求矩阵A=062410的秩 19-7-14-34 解:对A施行初等行变换 062 046 1200 10 03125 093 00000 B 0-21-714-35 00000 所以 R(A)=R(B)=2 注意:在求矩阵的秩时,初等行、列变换可以同时 兼用,但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形
1 2 0 0 1 0 6 2 4 10 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 0 6 2 4 10 0 3 1 2 5 ~ ~ 0 9 3 6 15 0 0 0 0 0 0 21 7 14 35 0 0 0 0 0 1. ( ) ( ) 2 R R = − − − − = − − − − = = A A A B A B 例 求 解 矩阵 的秩 ：对 施行初等行变换 所以 注意：在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时 兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．
求逆矩阵的初等变换法 要求可逆矩阵A的逆矩阵,只需对分块矩阵 (AE)施行初等行变换当把A变成E时原来的 E就变成了A。或者对分块矩阵4施行初等 E 列变换,当把A变成E时,原来的E就变成了A 0 例2求矩阵A=112的逆矩阵 解:作分块矩阵(A|E),对该矩阵施行初等行 变换
1 1 , ( ) , , , , − − A A E A E A E A E A E E A 要求可逆矩阵 的逆矩阵 只需对分块矩阵 施行初等行变换 当把 变成 时 原来的 就变成了 。或者对分块矩阵 施行初等 列变换 当把 变成 时 原来的 就变成了 。 二、求逆矩阵的初等变换法 ( ) 0 2 1 1 1 2 111 | 2. − = −−− A A E 求矩阵 的逆矩阵. 解：作分块矩阵 ，对该矩阵 例 施行初等行 变换
02-1100 112010 112010 02-1100 2+F 1-1-100 001011 35 100 110|0-1 222 7+ 020111 010 001011
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 2 0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 3 5 1 0 0 222 1 1 0 0 1 2 111 ~ 0 2 0 1 1 1 ~ 0 1 0 222 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 r r r r r r r r r r r + + − − − − −−− −−− − −
12-3/2-5/2 0 注意用初等行变换求逆矩阵时,必须 始终用行变换,其间不能作任何列变换.同 样地,用初等列变换求逆矩阵时,必须始终 用列变换,其间不能作任何行变换
1 1 2 3 2 5 2 1 2 1 2 1 2 . 0 1 1 − − − − = A 注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须 始终用行变换，其间不能作任何列变换．同 样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终 用列变换，其间不能作任何行变换．
求解线性方程组 当方程的个数与未知数的个数不相同时, 般用初等行变换求方程的解 当方程的个数与未知数的个数相同时,求线 性方程组的解,一般都有两种方法:初等行变换 法和克莱姆法则 例1.求下面非齐次线性方程组的通解 XI +2x2+3x2-x=1 3x,+2xn+x2-x,=1 2x1+3x2+x2+ 2x,+2x+2 5x,+5x+2x,=2
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解． 当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则． 三、求解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 3 2 1 (1) 2 3 1 2 2 2 1 1 5 5 2 2 . x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − = + + − = + + + = + + − = + + = 例 求下面非齐次线性方程组的通解
解:对方程组的增广矩阵B进行行的初等 变换,使其成为行最简矩阵 23-1 123-11 321-113310-4-82-2 B=2311 0-1-53 2n0-2-41 55202 0-5-135-3 123 10-100 25000007+4501-120 0-1-53-1 006-51 =500651+100000 0012-102分00000
2 1 3 1 4 1 5 1 2 4 4 3 5 3 3 2 2 5 2 2 5 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 3 2 1 1 1 0 4 8 2 2 2 3 1 1 1 0 1 5 3 1 2 2 2 1 1 0 2 4 1 1 5 5 2 0 2 0 5 13 5 3 1 2 3 1 1 0 0 0 0 0 0 1 5 3 1 0 0 6 5 1 0 0 12 10 r r r r r r r r r r r r r r − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − B B 解 对方程组的增广矩阵 进行行的初等 变换，使其成为行最简矩 ： 阵。 ～ ～ 5 4 1 3 1 4 3 4 2 3 4 4 2 2 1 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 6 5 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r r r r − + + + − − − − ～
n+5(100-为 001-% 始00000 00000 由此可知R(B)=R(4)=3,小于末知量的个数,故 有一个自由未知量,设自自由末知量为x4=k可得 方程组)通解是x=2 6 0 6 k取任意常数
1 1 3 6 1 2 3 6 1 6 3 5 1 6 6 7 1 6 6 5 1 6 6 4 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 3 1 5 1 1 7 (1) 1 5 6 6 0 6 r r r r r R k R x k x x k x x + + − − = = = − = = − B A x 由此可知 ，小于末知量的个数，故 有一个自由末知量，设自自由末知量为 可得 方程组 取 的通解是 任意常数 ～
例2.当a为何值时,下面齐次线性方程组有非零 0 解,并求通解. x1+2x2-x3+2x4=0 x+ax-x 4 0 3x1+2x2+3x3+ax4 0 解一:4 323a 000 101 2a+1-2 50a+3 010 00a+10 (a+1)(a-2) 000
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 0 0 3 2 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 0 1 1 1 1 0 2 1 2 3 2 3 0 5 0 3 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 2. 0 a x x x x x x x x x x ax x x x x ax a a a a a + − + = + − + = − + − = − + + + = − − − = = − − − + − − + − = + A 当 为何值时，下面齐次线性方程组有非零 解，并求 例 解 ： 通解. 一 ( 1)( 2) 0 2 a a a = + − −
当a=-1ora=2时,A=0,方程组有非 零解。当a=-1时,把系数矩阵A化为行 最简矩阵为 10-10 0100 0000 323 0001 从而得方程组的通解为 k(为任意常数 0
1 2 3 4 1 2 | | 0, 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 3 2 3 1 0 0 0 1 1 0 ( ) 1 0 ~ a or a a x x x k k x x = − = = = − − − − −−− − − = = A A A 当 时， 方程组有非 零解。当 时，把系数矩阵 化为行 最简矩阵为 ～ 从而得方程组的通解为 为任意常数