利用定义计算行列式 例1.写出5阶行列式D=det(an)中包含a13a25,并 带正号的所有项 解:含有a1a2的项共有六项: P3 p5 P34P45P5 其中p3Pp3是1,2,4三个数的任一排列,但正 项只有以下三项 (-1)2(35142 c132s314452 z(35214) c132532C41s4 (-1)
3 4 5 3 4 5 13 25 13 25 (35 ) 13 25 3 4 5 3 4 5 (35142) 13 25 31 44 52 5 det( ) , ( 1) 1,2,4 ( 1) : ij p p p ppp D a a a a a a a a a a p p p a a a a a = − − 写出 阶行列式 中包含 并 带正号的所有项. 含有 的项共有六项： 其中 是 三个数的任一排列，但正 项只有以下三项： 例1. 解 (35214) 13 25 32 41 54 (35421) 13 25 34 42 51 ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a − − 一、利用定义计算行列式
010..0 002 例2.计算D,= 00 n o 00 解:由行列式的定义可知 D,=∑(-1) P1"2P2 Pip2 (-1)23m)123.(7-1) (-1)
1 2 1 2 1 2 ( ... ) 1 2 ... (23... 1) ( 1) 0 1 0 ... 0 0 0 2 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 ( 1) ... ( 1) 123...( 1) ( 1) ! : n n n n p p p n p p np p p p n n D n n D a a a n n n − = − = − = − − = − 计算 解 由行列式的定义可知 例2
0b10 例3.计算D0c10 0b,0 0 o d 解:由定义可知 D4=∑(-1) [(Pp2p3p4) 1n22p23p24 P1P2 p4 a,c,b,d2-a, d,b, C2+b,d,a,c2-6,a (a1b2-a2b1)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 4 2 2 2 2 ( ) 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( )( ) : p p p p p p p p p p p p a b c d D a b c d D a a a a a c b d a d b c b d a c b c a d a b a b c d c d = = − = − + − = − − 计算 解 由定义可知 例3
-100 0 例4.计值D00x-1 do a, a2 xta3 解:由定义可知 D4=∑(-1) I(P,P2P3P4) 1P122P213P34p4 P1p2P3p4 x+a,+a,x +ax+a x taix ta,x + ao 注:由行列式的定义可知,对于n阶行列式而言,当 列式中零的个数多于m2-n时,该行列式的值一定为零
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 0 1 2 3 ( ) 4 1 2 3 4 3 2 3 2 1 0 4 3 2 3 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ( 1) ( ) : p p p p p p p p p p p p x x D x a a a x a D a a a a x x a a x a x a x a x a x a x a − − = − + = − = + + + + = + + + + 例4.计算 解 由定义可知 注：由行列式的定义可知，对于n阶行列式而言，当行 列式中零的个数多于n 2 -n时，该行列式的值一定为零
利用性质1计算行列式 例5.计算下面行列式的值 (1) y x+y x x x x 解 y xty 2(x+y)x+y x x+y x y c+ca+c 2(x+y)x y y x x 2(x+y)1 x+y x=2(x+yo x ox-y-x 2(x+y)(-x2+xy-y2)=-2(x3+y3)
1 2 3 2 2 3 3 (1) 2( ) 2( ) 2( ) 1 1 2( ) 1 2( ) 0 1 0 2( )( ) 2 : ( ) c c c x y x y y x y x x y x y x y x y x y y x y y x y x x y x y x x y x y x y x y y x y y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x xy y x y + + + + + + + + + + + + + + + = + + = + − − − = + − + − = − + = 例5.计算下面行列式的值 解 二、利用性质1计算行列式
bb. b b….b 6b b 6 b.. 6 6 b. b 解 b a b. b a+(n-1)b a b. 6 6b b 6 b a 1 6 b b a+(n-1)b] 0a-b0 000 a+(n-1)b](a-b)
... ... (2) ... ... ... ... ... ... ... 1 ... ... 1 ... [ ( 1) ] ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 ... 0 0 ... 0 [ ( 1) ] ... ... ... ... ... 0 0 0 ... : a b b b b a b b b b b a a b b b b b b b a b b a b b a n b b b b a b b a b b b a b a n b = + − − = + − 解 ( 1) [ ( 1) ] ( ) n a b a n b a b − − = + − −
0..0 an≠0) 100 00..0 解 1a,0..0 0..0 100 00 aa
1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 3 1 1 1 ... 1 1 0 ... 0 (3) ( ... 0) ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 1 1 1 ... 1 0 0 ... 0 1 0 ... 0 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 1 0 0 ... 1 .. : . (1 ) n n n i i n n n n i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = − = = − 解
11+a21 (a1a2.an≠0) 111+a +a11 解 1+a 0..0 11.1+a a100..a 十a1+ 00..0 C2..a, 0.0 (1+∑)a2gan 00
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 (4) ( ... 0) ... ... ... ... ... 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 ... 1 0 0 ... 1 0 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... : n n n n n i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + − = + − + + = − 解 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 (1 ) ... (1 ) ... 0 0 ... n n i i n n i i n a a a a a a a a a a a a a a = = = + + = + −
例6计算下面行列式 012-14 1111 14426 1234 13610 (2)33121 21035 141020 13512 111 解 2344-10123|-012314-0123 3610|=|0136=0013|=001 410200141000140001
2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 0 1 2 1 4 1 1 1 1 1 4 4 2 6 1 2 3 4 (1) (2) 3 3 1 2 1 1 3 6 10 2 1 0 3 5 1 4 10 20 1 3 5 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 3 6 : 10 0 1 3 6 0 0 1 3 0 0 1 3 1 4 10 20 0 1 4 10 0 0 1 4 0 0 0 1 r r r r r r r r r r r r − − − − − − − − − = = = = 例6.计算下面行列式 解
012-14 012-14 12-14 14426--14426+06512 4+2 2)3312 21035 089613 89613 13512 135120560 121-1-4121-1-4121-1-4 万>乃 0651200-77-22012-14 012-14|=-01 4|=|00-77-22 89613|100-714-1900-714-19 0560 00-45-2200-45-22
3 4 2 3 4 2 5 5 3 1 3 0 1 2 1 4 0 1 2 1 4 0 1 2 1 4 1 4 4 2 6 1 4 4 2 6 0 6 5 1 2 (2) 3 3 1 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 2 1 0 3 5 0 8 9 6 13 0 8 9 6 13 1 3 5 1 2 1 3 5 1 2 0 5 6 0 2 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 0 6 5 1 2 0 0 7 7 22 0 1 2 1 4 0 1 2 1 4 0 8 9 6 13 0 0 7 14 19 0 5 6 0 2 0 0 4 5 22 r r r r r r r r r r r − + + + + − − − − − = = − − − − − − − − − − − − − − = − = − = − − − − − − − 4 0 1 2 1 4 0 0 7 7 22 0 0 7 14 19 0 0 4 5 22 − − − − − − − −