利用正交变换将实对称矩阵化为对 角阵 2-20 例1.设实对称阵A=-21-2,求正交变换T 0-20 使TAT为对角阵。 解:第一步:求A的特征值。由 AE-4=22-12=(2-42-1+2)=0 024 得n1=4,2 第二步:由(E-A)x=0,求出A的特征向量
1 1 2 3 2 2 0 2 1 2 0 2 0 2 2 0 2 1 2 ( 4)( 1)( 2) 0 0 2 4 1 2 ( ) i − − = − − − − − = − = − − + = = = = − − = 例 1. A T T AT A E A E A x 0 A 设实对称阵 ，求正交变换 使 为对角阵。 解：第一 步：求 的特征值。由 得 ， ， 第二步：由 ，求出 的特征向量 一、利用正交变换将实对称矩阵化为对 角阵
当n1=4,由(4E-A)x=0,得 0 2y1+3X2 0,解得基础解系 2x2+4 X3 当2=1,由(E-A)x=0,得 x1+2x2 +2x3=0,解得基础解系a,=1 2 由(-2E-A)x=0,得 2x1-3x2+2x3=0,解得基础解系a3=2 x2-2x3
1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 3 2 2 3 3 1 2 4 (4 ) 2 2 0, 2 2 3 2 0, 2 2 4 0, 1 1 ( ) 2 0, 2 2 2 0, 1 2 0, 2 2 ( 2 ) 4 2 0, 2 x x x x x x x x x x x x x x x = − = + = − + + = = + = = − = − + = + = = + = − = − − − = − + = E A x 0 α E A x 0 α E A x 0 当 ，由 ，得 解得基础解系 当 ，由 ，得 解得基础解系 当 ，由 ，得 1 2 3 3 2 3 1 3 2 0, 2 2 2 0, 2 x x x x x − + = = − = 解得基础解系α
第三步:将特征向量正交化。因为a1,a2,a3是属 于A的3个不同特征值的特征向量,故它们必两 两正交。 第四步:将特征向量单位化。令η ,i=1,2,3 /3 2/3 1/3 得”1=2/3、叨2=1/3、3=2/3 /3 2/3 400 令T=212则TAT=010 00-2
1 2 3 1 2 3 , , 3 , , 1,2,3 2 / 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 2 / 3 2 2 1 1 2 1 2 3 1 2 2 i i i = =i − = = = − − − = − − α α α A α η α η η η T 第三步：将特征向量正交化。因为 是属 于 的 个不同特征值的特征向量 故它们必两 两正交。 第四步：将特征向量单位化。令 得 、 、 令 则 1 4 0 0 0 1 0 0 0 2 − = − T AT
化二次型为标准形 例2.用正交变换化f(x12x2,x3)=2x1x3+x2为标 准形 解:第一步:将二次型表示成矩阵形式 00 f(x1,x2,x3)=(x1,x2x3)010x2|=xAx 100 得实对称矩阵A=010 100 第二步:求出A的所有特征值。由 AE-A=(+1(-1)=0.得21=12=1,3=-1
2 1 2 3 1 3 2 1 T 1 2 3 1 2 3 2 3 2 1 ( , , ) 2 . 0 0 1 ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ( 1) 0, ( 1) f x x x x x x x f x x x x x x x x = + = = = − = + = = − 例2. x A x A A E A 用正交变换化 为标 准形 第一步：将二次型表示成矩阵形式 得实对称矩阵 第二步：求出 的所有特征值。由 得 解： 2 3 = = − 1, 1 二、化二次型为标准形
第三步:求正交矩阵T 解方程组(E-A)x=0,得它的基础解系 [a12a2]=0 a1与a2正交 将它们单位化,得 n1a(0 01 解方程组3E-A)x=0,得它的基础解系 a32=0.单位化得a32V2
( ) ( ) ( ) 1 T T 1 2 1 2 1 2 T T 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 ( ) 1 0 1 , 0 1 0 [ , ] 0 1 1 0 0 1 0 2 2 ( ) 1 0 , 1 − = = = = = = = = − = = = − T E A x 0 α α α α α α α α η η α α E A x 0 α α η α 第三步：求正交矩阵 解方程组 ，得它的基础解系 与 正交 将它们单位化，得 解方程组 ，得它的基础解系 单位化得 T 3 1 1 0 2 2 − =
A≠43y…”3与,2正交, 令T=(V12,”3),则T为正交矩阵,且 00 TAT=010=A为对角阵 00 第四步:作正交变换X=TY,得 f=r( atr=rr=yi+y-y
1 3 3 1 2 1 2 3 1 T T T 2 2 2 1 2 3 , , ( , , ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ( ) f y y y − = = = − = = = = + − η η η T η η η T T AT Λ X T Y Y T AT Y Y ΛY 与 ， 正交 令 ，则 为正交矩阵，且 为对角阵。 第四步：作正交变换 ，得
例3.用配方法化二次型为标准形,并求相应的 线性变换 f(x1,x2,x3)=x2+2x2+10x3+2x1x2+8x2x3+2x 解:第一步:将∫中含x的项集中进行配方并作 相应的线性变换。 f(x1,x2x3)=x1+2x1(x2+x3)+2x2+10x3+8x2x3 =(x1+x2+x)2-(x2+x3)2+2x2+10x3+8x =(x1+x2+x3)+x2+9x3+6x2x3 x,+x+x 作线性变换
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 . ( , , ) 2 10 2 8 2 ( , , ) 2 ( ) 2 10 8 ( ) ( ) 2 10 8 f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + + + + = + + + + + = + + − + + + + 例3. f 用配方法化二次型为标准形，并求相应的 线性变换 第一步：将 中含 的项集中进行配方并作 相应的线性变换。 解： 3 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 ( ) 9 6 x x x x x x x x y x x x y x y x = + + + + + = + + = = 作线性变换
即Y=PX且P1=010 00 f(x1,x2x3)=y2+y2+9y3+6y2y3 第二步:将∫中含y2的项集中进行配方并作相 应的线性变换 ∫=y2+y2+9y3+6y2y3=y21+(y2+3y3) 令{2=y2+3y3即Z=P2Y,则P2=0 00 得 z1+ 相应的线性变换为z=P2Y=P2P1X
1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 111 0 1 0 0 0 1 ( , , ) 9 6 9 6 ( 3 ) 3 f x x x y y y y y y y y y y y y y y z y z y y z y = = = + + + = + + + = + + = = + = = Y P X P f f Z P Y P 即 且 第二步：将 中含 的项集中进行配方并作相 应的线性变换 令 即 ，则 2 2 2 1 2 2 2 1 1 0 0 0 1 3 0 0 1 z z = = + = = f Z P Y P P X 得 相应的线性变换为
综合练习 1.二次型f(x,x2x2x)=x2+2x2+3x3+4x1x2 +2xx2的矩阵是 时实二次型∫(x2x2,x3)=x2+x2 +5x2+2x1x2-2xx3+4x2x3是正定的 3矩阵A=22-1对应的二次型 4.当t满足 时,二次型f(x2x2x)=1x2 +x2+nx2+2x1x2+2xx3-2x,x2是负定的
( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 1 3 2 3 , , , 2 3 4 2 2. , , , 5 2 2 4 1 2 4 3. 2 2 1 4 1 3 f x x x x x x x x x x x f x x x x x x tx x x x x x A = + + + + = + + + − + = − − 1.二次型 的矩阵是 当 时 实二次型 是正定的 矩阵 对应的二次型是 ( ) 2 1 2 3 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3 4. , , , 2 2 2 . t f x x x tx tx tx x x x x x x = + + + + − 当 满足 时 二次型 是负定的 三、综合练习
5将二次型f(x1,x2,x3)=x2+x2+x3+4x1x2 +4xx2+4x2x3化为标准型 6.设二次型 f=x2+x2+x3+2ax2+2B3x2x3+2x1x 经正交变换X=QY化成f=y2+2y3 其中X=(x1,x2x),Y=(y1,y2y)是三维列向 量,Q是三阶正交矩阵,试求常数a,B
( ) ( ) ( ) 222 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 222 1 2 3 1 2 2 3 1 3 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 5. , , 4 4 4 . 6. 2 2 2 2 , , , , , , , , . T T f x x x x x x x x x x x x f x x x ax x x x x x f y y X x x x Y y y y Q = + + + + + = + + + + + = = + = = X QY 将二次型 化为标准型 设二次型 经正交变换 化成 其中 是三维列向 量 是三阶正交矩阵 试求常数