线性空间的判定 线性空间中两种运算的8条运算规律缺一不 可,要证明一个集合是线性空间必须逐条验证 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构 成线性空间,只需说明在两个封闭性和8条运算规 律中有一条不满足即可
线性空间中两种运算的 8 条运算规律缺一不 可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证． 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构 成线性空间，只需说明在两个封闭性和8 条运算规 律中有一条不满足即可． 一、线性空间的判定
例1.设R是全体正实数集合,R是实数集合在 R+上定义了两种运算 加法:对任意a,b∈R+,ab=ab 数量乘法:对任意a∈Rt,k∈R,koa=a, 判断R对这两种运算是否构成数域R上的线性 空间? 解:Q1∈R∴R≠任取a,b∈R+,k,l∈R Qa>0,b>0,ab=ab>0,a⊕b∈R Qa>0,koa=a>0,∴koa∈R+ 即R+对于上述定义的加法和数量乘法运算是封 闭的
, , : : , , . : , , , ? 1 , . , , , 0, 0, 0, . 0, 0, . k k R R R a b a b ab R a k R k a R a R R R R R a b k l R a b a b ab a b R a k a k a a R + + + + + + + + + + + = = = = o Q Q Q o o 设 是全体正实数集合 是实数集合 在 上定义了两种运算 加法 对任意 数量乘法 对任意 判断 对这两种运算是否构成数域 上的线性 空间 即 解： 任取 例1. R 对于上述定义的加法和数量乘法运算是封 闭的
(ab=ab= ba=be a 2)(aeb)ec=(ab)oc=(ab)c=a(bc) =ad(bc)=a⊕(b⊕c); (3)1∈R,1⊕a=1a=a,:1是R中的零元素 (4)Qa>0,∴->0,即一∈R+,a-=a-=1 (零元)∴ch的负元素是 (5)(k+1)oa=ak aea=koa⊕loa
(1) ; (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); (3) 1 , 1 1 , 1 ; 1 1 1 1 (4) 0, 0, , 1 1 ( ) ; (5) ( ) k l k l a b ab ba b a a b c ab c ab c a bc a bc a b c R R a a a a a a R a a a a a a k l a a a a + + + + = = = = = = = = = = = = + = = Q o 是 中的零元素 即 零元 的负元素是 ; k l = = a a k a l a o o
(6)(k)oa=a=(a)=(a ko(loa (7)(a0b)=ko(ab)=(ab)=abk (koa(kob)=(koa)o(kob (8)1oa C R对上述定义的加法和数量乘法构成R上 的线性空间
1 (6) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) (7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ); (8) 1 . l k kl k l k k k k kl a a a a l a k l a k a b k ab ab a b k a k b k a k b a a a R R + = = = = = = = = = = = = o o o o o o o o o o o 对上述定义的加法和数量乘法构成 上 的线性空间
子空间的判定 例2.设A为n价实对称矩阵,问在什么条件下满 足XX=0的n维实向量X=(x,x2,xn)构 成R的子空间? 解:令V={X∈R"|XAX=0} Q0∈卩,卩≠p 显然,若X∈V,则kX∈V 即(kX)(kX)=k2(X4X)=0 又若X、Y∈V,只要X+Y∈V即V就是子空间
T 1 2 T T 2 T , 0 ( , ,..., ) ? | 0 , . , , . ( ) ( ) 0 ( ) , n n n n n x x x k k k k = = = = = = + 例2. Q A XAX X R V X R XAX 0 V V X V X V X A XAX X X Y V X Y V V 设 为 阶实对称矩阵 问在什么条件下满 足 的 维实向量 构 成 的子空间 令 显然 若 则 即 又若 、 只要 即 就 解： 是子空间. 二、子空间的判定
而(X+Y)A(X+Y) XAX+ Xay +yax+yart 2X=0 故V构成R的子空间的条件是:对于任意的 X、Y∈V,都有XAT=0
T T T T T T T ( ) ( ) 2 0, , 0. n + + = + + + = = = X Y A X Y XAX XAY YAX YAY XAY V R X Y V XAY 而 故 构成 的子空间的条件是：对于任意的 、 都有
、求向量在给定基下的坐标 例3.证明1,x-1(x-2)(x-1)是Rx]2的一组 基,并求向量1+x+x2在该基下的坐标 解:(1)因为Rx]是3维线性空间,所以Rx中 任意三个线性无关的向量都构成它的一组基。 1,x-1,(x-2)(x-1)∈Rx]2 令:k11+k2(x-1)+k3(x-2)(x-1)=0 整理得 k1-k2+2k3+(k2-3k3)x+k3x3=0
2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1, 1,( 2)( 1) [ ] 1 (1) 3 [ ] [ ] 1, 1,( 2)( 1) . [ ] 1 ( 1) ( 2)( 1) 0. 2 ( 3 ) x x x R x x x R x R x x x x R x k k k x x x k k k k k x − − − + + − − − + − + − − = − + + − + 例3.证明 是 的一组 基，并求向量 在该基下的坐标。 解： 因为 是 维线性空间，所以 中 任意三个线性无关的向量都构成它的一组基。 令： 整理得 2 k x3 = 0 三、求向量在给定基下的坐标
k1-k2+2k3=0 比较等式两边得: k2-3k3=0 k3=0 其系数行列式为D=02-3=2≠0 00 故方程组只有零解,即k1=k2=k3=0,于 是1(x-1)(x-2)(x-1)线性无关,所以 1(x-1)(x-2)(x-1)是R[x的一组基
1 2 3 2 3 3 1 2 3 2 2 0 3 0 0 1 1 2 0 2 3 2 0. 0 0 1 0 1 ( 1) ( 2)( 1) 1 ( 1) ( 2)( 1) [ ] k k k k k k D k k k x x x x x x R x − + = − = = − = − = = = = − − − − − − 比较等式两边得： 其系数行列式为 故方程组只有零解，即 ，于 是 、 、 线性无关，所以 、 、 是 的一组基
(2)设1+x+x2在给定基下的坐标为(an2a2a3) 则有1+x+x2=a1·1+a2(x-1)+a2(x-2(x-1) 整理得 1+x+x2=(a1-a2+2a)+(a2-3a3)x+a2x2 +2a2=1 比较系数 3a2=1→ 4 网所以1+x+x2在给定基下的坐标为(34,1) 即1+x+x2=3+4(x-1)+(x-2)x-1)
2 T 1 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 T 2 (2) 1 ( , , ) 1 1 ( 1) ( 2)( 1) 1 ( 2 ) ( 3 ) 2 1 3 3 1 4 1 1 1 (3,4,1) 1 3 4( 1) ( x x a a a x x a a x a x x x x a a a a a x a x a a a a a a a a a x x x x x x + + + + = + − + − − + + = − + + − + − + = = − = = = = + + + + = + − + 设 在给定基下的坐标为 则有 整理得 比较系数 所以 在给定基下的坐标为 即 − − 2)( 1). x
证二:(1)已知、x、x2是R[x2的一组基,又1、x-1、 (x-2)(x-1)∈R[x]2,且 (x-2x-1)(2-3 00 又 10 31八(x-2)(x-1 即1、x、x2可以由、x-1(x-2)(x-1线性表示,所 以两个向量组等价故有相同的秩而1,x,x线性无 关,因此1、x-1(x-2)x-1)也线性无关,从而 1、x-1、x-2)(x-1)是R[x2的一组基
2 2 2 2 2 2 (1) 1 [ ] , 1 1 ( 2)( 1) [ ] , 1 1 0 0 1 1 1 1 0 ( 2)( 1) 2 3 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 3 1 ( 2)( 1) 1 1 1 ( 2)( 1) , x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − = − − − − = − − − − − − R R 证二： 已知 、 、 是 的一组基 又 、 、 且 又 即 、 、 可以由 、 、 线性表示 所 以两 2 2 , . 1, , , 1 1 ( 2)( 1) , 1 1 ( 2)( 1) [ ] . x x x x x x x x x − − − − − − R 个向量组等价 故有相同的秩而 线性无 关 因此 、 、 也线性无关 从而 、 、 是 的一组基