第二章矩阵及其运算 矩阵是线性代数的一个主要研究对象, 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中,矩阵的运算 起着重要的作用,本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧
第二章 矩阵及其运算 矩阵是线性代数的一个主要研究对象， 也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经 渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学 在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算 起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算 的一些基本规则与技巧
>§2.1矩阵的概念及运算 §2.2逆矩阵 §2.3矩阵的分块
§2.2 逆矩阵 §2.1 矩阵的概念及运算 §2.3 矩阵的分块
第一节矩阵的概念
第一节 矩阵的概念
概念 1定义由m×n个数an(=12,…,m/=1,2,…m)排 成的m行n列的数表 称m行n列矩阵,简称m×n矩阵。记作 12 A m2
1.定义 由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排 成的m行n列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a 称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a = A 一、概念：
这m×n个数称为矩阵A的元素,简称为元, 数an位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵 A的()元。以数a为()元的矩阵可简记作 (an)或(anDm)n,m×n矩阵A也记作Am×n° 元素是实数的矩阵,称为实矩阵;元素是复 数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵 记作An
这 m×n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元， 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的 ( i,j )元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作 (aij) 或 (aij)m×n，m×n 矩阵 A也记作A m×n。 元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复 数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵， 记作 An
2行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵,又称行向量 只有一列的矩阵称为列矩阵,又称为列向量 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵,记为An 3同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等,就称它们是同型矩阵 如果两个同型矩阵的对应元素相等,那么就称 这两个矩阵相等。记作:A=B 4零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O。不同型的零矩阵是不相等的
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。 3.同型矩阵与矩阵相等: 如果两个矩阵的行数相 等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。 如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称 这两个矩阵相等。记作：A=B 4.零矩阵: 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O。不同型的零矩阵是不相等的
5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外,其余元素全为零,这样的n阶方阵称为对 角矩阵。记作A=diag(1,x2,,2n) 如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1,其余元素全为零,这样的n阶矩阵称为 n阶单位矩阵。记作En,或E。 如果n阶方阵主对角线上的元素全为k,其 余元素全为零,这样的n阶矩阵称为n阶数量 矩阵
5. 对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零 外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对 角矩阵。记作 A=diag(λ1 ,λ2 ,…,λn ) 如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。 如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵
二、矩阵的运算 1矩阵的加法:设有两个同型的m×n阶矩阵 A=(an)、B=(b),则矩阵A与B的和记为 A+B,并规定 11101 +6 2112 b atB= b m21m2 注:矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行; 两个矩阵相加时,对应元素进行相加
二、矩阵的运算 1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵 A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + + = + + + A B 注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加
矩阵加法的运算律: (1)A+B=B+A (2)(4+B)+C=A+(B+C 设矩阵A=(an),记-A=(-a1,称-A为矩阵 A的负矩阵。 由矩阵加法的定义,显然有A+(-A)=O, 由此,矩阵的减法可定义为 A-B=A+(-B)
矩阵加法的运算律： ☞(1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C ) 设矩阵 A= (aij) ，记−A= (− aij)，称 − A为矩阵 A的负矩阵。 由矩阵加法的定义，显然有 A+ (− A) = O， 由此，矩阵的减法可定义为 Ａ− B =Ａ+ (− B)
2矩阵的数乘:数λ与矩阵A的乘积记为λ4或 Aλ,并规定: 2 2A= d mI d ia 由此可见,矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵 同型的矩阵,并且,是用数λ与矩阵的每 元素相乘
2.矩阵的数乘： 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或 Aλ，并规定： 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a = A 由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵 同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个 元素相乘