《考研线性代数讲义》第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩（水木艾迪）

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 3.1矩阵的初等变换 矩阵的初等变换分矩阵的初等行变换和矩阵的 初等列变换两类,它们又各有3种变换 矩阵的初等行(列)变换: (1)交换第i行(列)和第j行(列); (2)用一个非零常数乘矩阵某一行(列)的每个 元素; (3)把矩阵某一行(列)的元素的k倍加到另一行 (列) 对矩阵施行初等变换时,由于矩阵中的元素已经 改变,变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等,所 以在表达上不能用等号,而要用箭号"→" 012 例1求矩阵A=11-1的逆矩阵 240 3.2初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵.概括起来,初等矩阵有3类,分别是 (1)交换第i行和第j行(交换第i列和第j列)

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 1 第 3 章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 ３．１ 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换分矩阵的初等行变换和矩阵的 初等列变换两类，它们又各有３种变换． 矩阵的初等行（列）变换： （１） 交换第i行（列）和第 j 行（列）； （２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个 元素； （３） 把矩阵某一行（列）的元素的k倍加到另一行 （列）． 对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经 改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所 以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂． 例1 求矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 4 0 1 1 1 0 1 2 A 的逆矩阵． ３．２ 初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是 （１）交换第i行和第 j 行（交换第i列和第 j 列）

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 E(ij) (2)用常数乘第i行(λ乘第i列) E(i() (3)第i行的k倍加到第j行

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( . ) O L L L M M M O M M M L L L O E i j （２）用常数λ 乘第i行（λ 乘第i列） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) O O E i λ λ （３）第i行的k倍加到第 j 行

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (第j列的k倍加到第i列) E(j(K)) 显然,初等矩阵都可逆,其逆矩阵仍是初等矩阵, 且有 E(I,D=E(i,j; E(i() E(j(D)= E(Ck) 初等矩阵与初等变换有着密切的关系: 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换 例如要将矩阵A的第1行和第3行交换,则左乘一个 初等矩阵E(1,3): 12 13 33 22 23 21 22 23 10 323 12 13

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 3 （第 j 列的k倍加到第i列） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) O L M O O k E ij k 显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵， 且有 ( , ) ( , ) 1 E i j = E i j − ； ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − λ λ 1 ( ( )) 1 E i E i ； ( ( )) ( ( )) 1 E ij k = E ij −k − ． 初等矩阵与初等变换有着密切的关系： 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换． 例如要将矩阵 的第１行和第３行交换，则左乘一个 初等矩阵 A E(1,3)： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ＝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ．

2006基础 第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩 阵相应类型一样的初等列变换 12 13 例2设A=a2 31a 32 33 21 22 23 B 32 33 13 23 E 0|,E 00 E 3 00 则以下选项中正确的是 (A)EJErE3A=B; (B)AEJEE3=B (C)EE,E1A=B; (D)AE3E2EI= B 例3设A是3阶可逆矩阵,将A的第1行和第3行 对换后得到的矩阵记作B (1)证明B可逆;

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 4 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩 阵相应类型一样的初等列变换． 例2 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 11 21 12 22 13 23 31 32 33 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 E1 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E2 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 E3 ． 则以下选项中正确的是 (A) E1E2E3A = B； (B) AE1E2E3 = B； (C) E3E2E1A = B； (D) AE3E2E1 = B． 例３ 设 是３阶可逆矩阵，将 的第１行和第３行 对换后得到的矩阵记作 ． A A B （１） 证明B可逆；

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (2)求AB-1 123 例4设A=134,B=011,是否存 000 在可逆矩阵P,使得PA=B?若存在,求P; 若不存在,说明理由 例5设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换 得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 00(B)10 001 1010 (D)100 3.3矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得 到,则称矩阵A和B等价 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系,它具有 如下性质: (1)反身性:任何矩阵和自己等价;

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 5 （２） 求 ． −1 AB 例4 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 0 1 3 4 1 2 3 A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 B ，是否存 在可逆矩阵 P ，使得 PA = B？若存在，求 P ； 若不存在，说明理由． 例 5 设 A是 3 阶方阵，将 的第 1 列与第 2 列交换 得 ，再把 的第 2 列加到第 3 列得C ， A B B 则满足 AQ = C 的可逆矩阵Q为 (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 1 1 0 0 0 1 0 (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 1 1 0 0 0 1 0 (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 B 可以由矩阵 经过一系列初等变换得 到，则称矩阵 和 等价． A A B 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有 如下性质： （１） 反身性：任何矩阵和自己等价；

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (2)对称性:若矩阵A和矩阵B等价,则矩阵B和 矩阵A也等价; (3)传递性:若矩阵A和矩阵B等价,矩阵B和 矩阵C等价,则矩阵A和矩阵C等价. 形如 的矩阵称为矩阵的等价标准形 任意矩阵A都与一个等价标准形 等 00 价.其中r是r阶单位矩阵.这个r是一个不变量, 它就是矩阵的秩 或者说,任何矩阵都可以通过一系列的初等变换 化作等价标准形.由于每做一次初等变换就相当于在 矩阵的左端或右端乘一个初等矩阵,因此又可以说, 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵P,P2…,P,和 初等矩阵Q1,Q2,…,Q1使得 sS-1 P1AC1Q2…Q 令P=PP1…B1,Q=Q1Q2…Q1,由于初等矩 阵都是可逆矩阵,其乘积自然也是可逆的,于是又可 以说,对任意m×n的矩阵A,总存在m阶可逆矩阵 P和n阶可逆矩阵Q,使得

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 6 （２） 对称性：若矩阵 和矩阵 等价，则矩阵 和 矩阵 也等价； A B B A （３） 传递性：若矩阵 和矩阵 等价，矩阵 和 矩阵C 等价，则矩阵 和矩阵C 等价． A B B A 形如 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵 A 都与一个等价标准形 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I 等 价．其中 Ir 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量， 它就是矩阵的秩． 或者说，任何矩阵都可以通过一系列的初等变换 化作等价标准形．由于每做一次初等变换就相当于在 矩阵的左端或右端乘一个初等矩阵，因此又可以说， 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵 ，和 初等矩阵 P P Ps , , , 1 2 L Q Q Qt , , , 1 2 L 使得 Ps Ps−1 LP1 AQ1Q2 LQt ＝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I ． 令P ＝Ps Ps−1 LP1，Q＝Q1Q2 LQt，由于初等矩 阵都是可逆矩阵，其乘积自然也是可逆的，于是又可 以说，对任意m × n的矩阵 A，总存在m 阶可逆矩阵 P 和n阶可逆矩阵Q，使得

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 PAO=00 每一个矩阵都有一个唯一的等价标准形,因此等 价的矩阵有相同的等价标准形,反过来,有相同等价 标准形的矩阵是等价的 例6设n阶矩阵A与B等价,则必有 (A)当4=a(a≠0)时,B=a (B)当A=a(a≠0)时,B=-a (C)当A≠0时,B=0 0)当A=0时,B=0 3.4矩阵的秩 在mxn矩阵A中,任取k行k列,位于这k行k 列交叉处的k2个元素按其原来的次序组成一个k阶 行列式,称为矩阵A的一个k阶子式 若矩阵A中有一个r阶子式不为零,而所有r+1 阶子式全为零,则称矩阵A的秩为r.矩阵A的秩记 作r(A). 零矩阵的秩规定为零 显然有 (4)≥r分A中有一个r阶子式不为零; r(A)≤r分A中所有r+1阶子式全为零 若n阶方阵A,有r(A)=n,则称A是满秩方阵

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 7 PAQ＝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 r I ． 每一个矩阵都有一个唯一的等价标准形，因此等 价的矩阵有相同的等价标准形，反过来，有相同等价 标准形的矩阵是等价的． 例 6 设n阶矩阵 A与B等价，则必有 (A) 当 A = a (a ≠ 0)时， B = a． (B) 当 A = a (a ≠ 0)时， B = −a． (C) 当 A ≠ 0时， B = 0． (D) 当 A = 0时， B = 0． ３．4 矩阵的秩 在m × n矩阵 A中，任取k行k列，位于这k行k 列交叉处的 个元素按其原来的次序组成一个 2 k k 阶 行列式，称为矩阵 A的一个k阶子式． 若矩阵 A中有一个r阶子式不为零，而所有r + 1 阶子式全为零，则称矩阵 A的秩为r．矩阵 的秩记 作 ． A r(A) 零矩阵的秩规定为零． 显然有 r(A) ≥ r ⇔ A中有一个r阶子式不为零； r(A) ≤ r ⇔ A中所有r + 1阶子式全为零． 若n阶方阵 A，有r(A) = n，则称 A是满秩方阵．

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 对于n阶方阵A, r(A)=n台A≠0 若矩阵A是满秩的,则它的行列式不等于零,它就可 逆,反之也成立.因此我们说一个方阵是"满秩的", 或说是"可逆的",或说是"非奇异的"都是等价 的,只是从不同的角度,不同的性质来描述一个矩阵. 对矩阵施行矩阵的初等变换,得到的矩阵和原来 的矩阵是等价的,由于等价的矩阵有相同的等价标准 形,所以它们就有相同的秩.就是说,矩阵的初等变 换不改变矩阵的秩.可以利用这个性质,对要求秩的 矩阵施行矩阵的初等变换,变成阶梯形,这时,矩阵 的非零行的行数就是矩阵的秩 11223 例7求矩阵223 的秩. 10115 23554 例8求m阶矩阵f/b 的秩 bb n22

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 8 对于n阶方阵 A， r(A) = n ⇔ A ≠ 0． 若矩阵 是满秩的，则它的行列式不等于零，它就可 逆，反之也成立．因此我们说一个方阵是＂满秩的＂， 或说是＂可逆的＂，或说是＂非奇异的＂都是等价 的，只是从不同的角度，不同的性质来描述一个矩阵． A 对矩阵施行矩阵的初等变换，得到的矩阵和原来 的矩阵是等价的，由于等价的矩阵有相同的等价标准 形，所以它们就有相同的秩．就是说，矩阵的初等变 换不改变矩阵的秩．可以利用这个性质，对要求秩的 矩阵施行矩阵的初等变换，变成阶梯形，这时，矩阵 的非零行的行数就是矩阵的秩． 例 7 求矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 5 5 4 1 0 1 1 5 2 2 3 1 4 1 1 2 2 3 A 的秩． 例8 求n阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a b a b a b b A L L L L L L L 的秩， n ≥ 2．

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 01-1b 例9设A 已知r(A)= 35 求a,b 矩阵的秩有许多性质,常用的以下几个: (1)r(A)=r(4) )r(A+B)≤r(4)+r(B) (3) r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min(r(4),r(B), 其中n为矩阵A的列数; (4) (4)+r(B); (4)+r(B) c B (6)若AB=0,则r(4)+r(B)≤n, 其中n为矩阵A的列数 (7)若A可逆,则r(AB)=r(B (8)若A列满秩,则r(AB)=r(B) (9)若B行满秩,则r(AB)=r(A) 例10设A,B都是n阶方阵满足A2-2AB=I, 求r(AB-BA+A)=?

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 9 例9 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3 5 1 7 2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 a b A ，已知r( A) = 3， 求a,b． 矩阵的秩有许多性质，常用的以下几个： （１） ( ) ( )； T r A = r A （２）r(A + B) ≤ r(A) + r(B)； （３） r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min(r(A),r(B))， 其中n为矩阵 A的列数； （４） ( ) ( ) 0 0 r A r B B A r ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ； （５） ( ) ( ) 0 r A r B C B A r ⎟ ≥ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ； （６）若 AB = 0，则r(A) + r(B) ≤ n， 其中n为矩阵 A的列数． （７）若 A可逆，则r(AB) = r(B) （８）若 A列满秩，则r(AB) = r(B) （９）若B行满秩，则r(AB) = r(A) 例 10 设 A,B都是n阶方阵，满足 A − 2AB = I 2 ， 求r(AB − BA + A) =？

2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 例11设A是4×3矩阵, r(A)=2,B=020,求r(AB) 123 例12已知A=-1-2-3,B是3阶非零 矩阵,且满足AB=0,则 (A)t=4时,B的秩必为1; (B)t=4时,B的秩必为2; (C)t≠4时,B的秩必为1; (D)t≠4时,B的秩必为2 例13设A,B都是n阶非零矩阵,且满足AB=0 则A和B的秩 (A)必有一个等于零 (B)都小于n; (C)一个小于n,一个等于n (D)都等于n 例14设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,若n<m 证明:AB=0. 例15设A是2阶方阵,已知A5=0,证明A2=0

2006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 10 例１1 设 A是4× 3矩阵， , 1 0 3 0 2 0 1 0 2 ( ) 2, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − r A = B = 求r(AB)． 例１2 已知 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − 2 6 1 2 3 1 2 3 t A ，B是３阶非零 矩阵，且满足 AB = 0，则 (A) t = 4时，B的秩必为１； (B) t = 4时，B的秩必为２； (C) t ≠ 4时，B的秩必为１； (D) t ≠ 4时，B的秩必为２． 例13 设 A,B都是n阶非零矩阵，且满足 AB = 0， 则 A和B的秩 (A) 必有一个等于零； (B) 都小于n； (C) 一个小于n，一个等于n； (D) 都等于n． 例14 设 A是m × n矩阵，B是n× m矩阵，若n < m 证明： AB = 0． 例 15 设 A是２阶方阵，已知 0 5 A = ，证明 0． 2 A =