函数极限 关于函数的极限,根据自变量的变化过程,我们主 要研究以下两种情况: 、当自变量κ的绝对值无限增大时,∫(x)的变化趋势, 即x→>∞时,f(x)的极限 、当自变量κ无限地接近于x时,f(x)的变化趋势 即x→>x时,f(x)极限
函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主 要研究以下两种情况： 一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 即x → 时, f (x)的极限 二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 即x → x0时, f (x)的极限
、自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数 sInr 当x→∞时的变化趋势. 075
一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 观察函数 当 x → 时的变化趋势 x x 播放
问题:函数y=∫(x)在x→的过程中,对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面演示实验的观察: 当x无限增大时,f(x)=x无限接近于0 问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近” f(x)-4X表示x>的过程
问题:函数 y = f ( x)在x → 的过程中, 对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. 通过上面演示实验的观察: 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x X 表示x → 的过程
1定义: 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式x>X的一切 x,所对应的函数值∫(x)都满足不等式f(x)-A时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(当x→>∞) x→Q "8一X"定义limf(x)=A分 x→0 ve>0,X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A<8 ●
1. 定义 : 定 义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小) , 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) − A , 那末常数A就叫函数 f (x)当x → 时的极限,记 作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当 " − X"定义 = → f x A x lim ( ) 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A
2另两种情形 1°.x→>+∞情形:limf(x)=A 少+0 E>0,丑X>0,使当x>X时,恒有f(x)-A0,X>0,使当x<-X时,恒有f(x)-A<E 定理:limf(x)=A台lmf(x)=A且lm∫(x)=A x→0 x-+oO
2.另两种情形: 1 . : 0 x → + 情形 f x A x = →+ lim ( ) 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f (x) − A . 2 . : 0 x → − 情形 f x A x = →− lim ( ) 0,X 0,使当x −X时,恒有 f (x) − A . 定理:lim x→ f (x) = A lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ 且 →−
3几何解释: sInx 8 当xX时,函数y=f(x)图形完全落在以 直线y=A为中心线,宽为2e的带形区域内
3.几何解释: x x y sin = − A − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 = − = y A x X x X y f x
x+11 例1证明Iim →02x-12 证 x+1 31 2x-122|2x-1 x→∞故不妨设>1,而当>1时 2x-1≥2|x|-1>x x+113 313 2x-1 2/2x-1/x 12|x||x VE>0要使 x+11 1和|x|>同时成立
例1 证明 2 1 2 1 1 lim = − + → x x x 证 | 2 1 | 1 2 3 2 1 2 1 1 − − = − + x x x x → 故不妨设|x|＞1，而当|x|＞1时 | 2x − 1| 2 | x | −1 | x | | 2 1 | 1 2 3 2 1 2 1 1 − − = − + x x x | | 3 | | 1 2 3 x x 0 − − + 2 1 2 1 1 x x 要使 只须 和 同时成立 3 | x | 1 | x |
令X=max{1,}则当|x|>X时,便有 x+1131 3 2x-12-2 2x-1| ∞2x-12 定义:如果limf(x)=c,则直线y=c是函数y=∫(x) 的图形的水平渐近线
} 3 max{1, 令X = 则当| x | X时，便有 | 2 1 | 1 2 3 2 1 2 1 1 − − = − + x x x | | 3 x 2 1 2 1 1 lim = − + → x x n . : lim ( ) , ( ) 的图形的水平渐近线 定义 如果 f x c 则直线 y c是函数y f x x = = = →
二、自变量趋向有限值时函数的极限 先看一个例子 考察x→]时函数f(x/2(x2-1) 的变化趋势 这个函数虽在x=1处 无定义,但从它的图 形上可见,当点从1的 左侧或右侧无限地接 近于1时,f(x)的值无 限地接近于4,我们称 常数4为fx)当x→1时 fx)的极限
二、自变量趋向有限值时函数的极限 先看一个例子 考察 时 函数 的变化趋势 1 2( 1) 1 , ( ) 2 − − → = x x x f x 这个函数虽在x=1处 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。 1 x y o 4
问题:函数y=∫(x)在x→x0的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A f(x)-4x的过程 0+8x 点xn的去心δ邻域,δ体现接近x程度
问 题:函 数 y = f (x)在 0 x → x 的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; 0 . x − x0 表示x → x0的过程 x0 − x0 + x x0 , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度