概率论与数理统计 习题课 主讲教师:姚香娟 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 主讲教师: 姚香娟 概率论与数理统计 习题课
第一讲事件及其概率 1.事件及其关系和运算 (1)事件之间的关系: 包含、相等、互不相容、对立(互逆) (2)事件之间的运算及运算率 和(并)、差、积(交) 交换率、结合律、分配率 德摩根律AUB=A∩B;A∩B=A∪B; A-B=AB=A-AB 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 第一讲 事件及其概率 1. 事件及其关系和运算 （1）事件之间的关系： 包含、相等、互不相容、对立(互逆) （2）事件之间的运算及运算率： 和(并）、差、积（交） 交换率、结合律、分配率 德摩根律 A B = A B; A B = A B; A− B = AB = A− AB;
2.概率的概念和公式 事件的概率:事件在随机试验中发生的可能性的大小。 概率的运算法则和基本公式: 1)P(Φ)=0;P(2)=1 (2)对手任一事件4,有P(A)=1-P(A) P(AB)={4P(B4)-般情况 (3)乘法公式 P(A)P(B)A,B相互独立 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 2. 概率的概念和公式 （1）P() = 0; P() =1. (2) 对于任一事件A , 有 P(A) = 1− P(A) 事件的概率： 事件在随机试验中发生的可能性的大小。 概率的运算法则和基本公式： A, B相互独立 P(AB) = P(A)P(B | A) P(A)P(B) 一般情况 (3)乘法公式
4 般 P(4∪B)=P(4)+P(B)-P(AB)情况 P(4∪B)= P(A∪B)=P(A)+P(B)AB= 可推广到多个事件的情形:如三个事件 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(42)+P(43) -P(4142)-P(4143)-P(A243)+P(414243) 也可利用对立事件 P(AU)=1-P(4UB)=1-P(4b) 化为事件的积 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 4） 可推广到多个事件的情形: 如三个事件 P(A B) = P(A B) = P(A)+ P(B) − P(AB) P(A B) = P(A) + P(B) 一般 情况 AB = ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 A2 A3 = P A1 + P A2 + P A3 ( ) ( ) ( ) ( ) − P A1 A2 − P A1 A3 − P A2 A3 + P A1 A2 A3 也可利用对立事件 P(A B) = 1− P(A B)= 1− P(A B) 化为事件的积
7)全概率公式P(B)=∑P(4)P(B|A) A1,A2,…,An为划分 8)条件概率 1)在缩减样本空间中计算。 2)用公式P(B/A)=P(4 IB P(A) 3)用贝叶斯公式 P(B /)=P(AB, P(Al B)P(Bi) P(A) ∑P(A|B)P(B) n i=1 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 7）全概率公式 ( ) ( ) ( ) k n K P B P Ak P B | A 1 = = A A An , , , 1 2 为划分 2）用公式 1）在缩减样本空间中计算。 3）用贝叶斯公式 8）条件概率 ( ) ( ) ( / ) P A P AB P B A = P(Bi | A) = (i = 1,2, ,n) ( ) ( ) P A P ABi = = n i P A Bi P Bi 1 ( | ) ( ) ( | ) ( ) P A Bi P Bi
3事件的概率的计算 1)直接计算 古典概型(几何概型) 2)利用概率的性质和公式 3)利用概率分布 4·事件的独立性和独立试验 事件4和B独立,如果 P(AB)=P(AP(B) 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 3.事件的概率的计算 1）直接计算 古典概型（几何概型） 2）利用概率的性质和公式 3）利用概率分布 4.事件的独立性和独立试验 事件A和B独立，如果 P(AB) = P(A)P(B)
例1.设A,示三个事件试表示下列事件 (1)A,都发生 (ABC) (2)与发生,不生 (ABC) (3)A罗至少有一个发生 (A∪B∪C) (4)A,B与全不发生 (ABC) (5)A至有两个发生或( ABUBCUAC ( ABCUABC∪ ABCUABC) (6)A另怡有一个发生( ABCUABCUABC) 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 例1. (ABC ) (ABC) (A BC) (ABC) (ABC ABC ABC ABC ) 或(ABBC AC) 设 A,B 表示三个事件 ,C ,试表示下列事件 (1) A, 与 B 都发生 C (2) A 与 发生 B , 不发生 C (3) A, 与 B 至少有一个发生 C (4) A,B 与 C 全不发生 (5) A, 与 B 至少有两个发生 C (6) A, 与 B 恰有一个发生 C (ABC ABC ABC)
例2已知P(A)=P(B)=0.5,证明P(AB)=P(AB) 证明:P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB) 1-P(A)-P(B)+ P(AB P(AB) 例3:P(4)=05P(4B)=02,求P(B) B#: P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB) →P(AB)=P(A)-P(AB) =0.3 P(AB)=1-P(AB)=0.7 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 例2.已知 P(A) = P(B) = 0.5 , 证明P(AB) = P(AB) 证明: P(AB) =P(A B)= 1− P(A B) = 1− P(A)− P(B)+ P(AB)= P(AB) 例3： ，求 解： P(AB) = P(A− B) = P(A) − P(AB) P(AB) = P(A) − P(AB)
例4、设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)=06 例5、设P(A=04,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6 则P(AB)=03 例6:P(4)=05P(4B)=02,P(AB)=03 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 例4、 例5、 0.6 0.3 例6： 0.3
例7、在1~100整数中任取一数, 求(1)它能被2整除又能被5整除的概率; (2)它能被2整除或者能被5整除的概率。 解:』_能被2整除,B-能被5整除, 101 (1)P(AB)= 10010 (2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 5020106 100100100105 中国矿业大学 oo
中 国 矿 业 大 学 例7、在1~100整数中任取一数， 求（1）它能被2整除又能被5整除的概率； （2）它能被2整除或者能被5整除的概率。 解：A—能被2整除，B—能被5整除