2006春季班 线性代数第1章行列式 第1章行列式 行列式的概念 n阶行列式是一个数,是由n2个数排成n行n列 的方阵 12 21 2n n nn 所决定的. 例如:二阶行列式 1x4-2×3=-2 3 二阶行列式一般的计算公式是 12 1×a422-a1×a21 21 22 这个数是由两项的和构成的,每一项又是由取自不同 行不同列的两个数的乘积组成的,且其中一项为正, 一项为负 阶行列式的计算公式是
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 1 第 1 章 行列式 1.1 行列式的概念 n阶行列式是一个数，是由 个数排成 行 列 的方阵 2 n n n n n nn n n a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 所决定的． 例如：二阶行列式 1 4 2 3 2 3 4 1 2 = × − × = − 二阶行列式一般的计算公式是 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = × − × ． 这个数是由两项的和构成的，每一项又是由取自不同 行不同列的两个数的乘积组成的，且其中一项为正， 一项为负． 三阶行列式的计算公式是
2006春季班 线性代数第1章行列式 12 21 23 31 32 33 a x (1 x Ta 13 32a 31 32 在这个式子中如果把二阶行列式展开,就得到6项, 每一项由取自不同行不同列的3个数的乘积组成,其 中3项为正,3项为负 在n阶行列式中,去掉元素a:所在的第i行和第 j列,剩下的是一个n-1阶行列式,叫做an的余子 式,记作M.那么3阶行列式就可写作: 13 21 23 11411 1212+a 13 31 32 33 再进一步,记 称A:为an的代数余子式,则3阶行列式就可写作:
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 2 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 31 32 21 22 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 a a a a a a a a a a a a a a = a × − × + × ． 在这个式子中如果把二阶行列式展开，就得到 6 项， 每一项由取自不同行不同列的 3 个数的乘积组成，其 中 3 项为正，3 项为负． 在n阶行列式中，去掉元素aij所在的第i 行和第 j列，剩下的是一个n − 1阶行列式，叫做 的余子 式，记作 ij a Mij ．那么 3 阶行列式就可写作： 11 11 12 12 13 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a M a M a M a a a a a a a a a = − + 再进一步，记 ij i j Aij M+ = (−1) 称 Aij为 的代数余子式，则 3 阶行列式就可写作： ij a
2006春季班 线性代数第1章行列式 13 a2a2a2=a1A41+a12412+a13A13 31 32 同样,n阶行列式 12 In 21 2n 141+a12412+…+a1tn41n n 将其中的代数余子式全部展开,得到的是一个数,它 是n!项的代数和,其中每一项都是由取自不同行不同 列的n个数的乘积组成,其中一半是正项,一半是负 项.显然,如果在一个行列式中,有的元素是字母X, 那么,行列式就是关于x的一个多项式. 例1 00 x(x-1)=x2-x
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 3 11 11 12 12 13 13 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a A a A a A a a a a a a a a a = + + ． 同样，n阶行列式 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = + +L+ L L L L L L L 将其中的代数余子式全部展开，得到的是一个数，它 是 项的代数和，其中每一项都是由取自不同行不同 列的n个数的乘积组成，其中一半是正项，一半是负 项．显然，如果在一个行列式中，有的元素是字母 ， 那么，行列式就是关于 的一个多项式． n! x x 例 1 x x x x x x x x = = − = −2 ( 1) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ．
2006春季班 线性代数第1章行列式 例2 20 02 03 0 00 00 例: 0 22 21 11422 nn 1.2行列式的性质 行列式的最基本的性质是以下4个: 性质1行列式中行列互换,其值不变 12 13 21 31 21 22 23 22 32· 13
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 4 例 2 ! 0 0 0 3 0 2 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 n n n = × = L = L L L L L L L L L L L L L L 例 3 nn n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a L L L L L L L L L L L L L L 11 22 2 22 11 1 2 21 22 11 0 0 0 0 = = = ． 1.2 行列式的性质 行列式的最基本的性质是以下 4 个： 性质 1 行列式中行列互换，其值不变． = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 13 23 33 12 22 32 11 21 31 a a a a a a a a a ．
2006春季班 线性代数第1章行列式 性质2行列式中两行(列)对换,其值变号 12 13 21 23 21 22 23 2 13 33 31 32 性质3行列式中如果某行(列)元素有公因子,可 以将公因子提到行列式外 12 13 12 13 ka2l ka22 ka2=ka2 2223 性质4行列式中如果有一行(列)每个元素都由两 个数之和组成,行列式可以拆成两个行列式的和 12 a21+b2 a2+b22 23+023 31 lI 12 13 12 13 21 22 23 十 21 23 31 32
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 5 性质 2 行列式中两行（列）对换，其值变号． = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a – 31 32 33 11 12 13 21 22 23 a a a a a a a a a ． 性质 3 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可 以将公因子提到行列式外． = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a ka ka ka a a a 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a k ． 性质 4 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两 个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和． + + + = 31 32 33 21 21 22 22 23 23 11 12 13 a a a a b a b a b a a a + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a b b b a a a ．
2006春季班 线性代数第1章行列式 由以上四条基本性质,还能推出下面几条性质: 性质5行列式中如果有两行(列)元素对应相等, 则行列式的值为0 性质6行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则行列式的值为0. 性质7行列式中如果有一行(列)元素全为0,则 行列式的值为0 性质8行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行 (列),其值不变 例4计算 例5设G1,C2,C3均为3维列向量,记矩阵 A=(a1,a2,ax3) B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3, c1+3a2+903) 如果A=1,那么B=
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 6 由以上四条基本性质，还能推出下面几条性质： 性质 5 行列式中如果有两行（列）元素对应相等， 则行列式的值为０． 性质 6 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例， 则行列式的值为０． 性质 7 行列式中如果有一行（列）元素全为０，则 行列式的值为０． 性质 8 行列式中某行（列）元素的k 倍加到另一行 （列），其值不变． 例4 计算 n N 2 1 ． 例5 设 1 2 3 α ,α ,α 均为 3 维列向量，记矩阵 ( , , ) A = α1 α 2 α 3 ， 3 9 ) ( , 2 4 , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α α α α α α α α α + + B = + + + + 如果 A = 1，那么 B =
2006春季班 线性代数第1章行列式 行列式中常用的公式还有: 1.范德蒙德( Vandermonde)行列式 I l≤j<i≤n n-1 n-1 n-1 A 0 =AB,其中A,B都是方阵 0 B 3 (-1)mAB,其中A是n阶方阵, B 0 B是m阶方阵 上面两个公式还可以推广为: C B A|B,其中A是n阶方阵,B是m阶 方阵,C是m×n的矩阵 或 AB,其中A是阶方阵,B是m阶 方阵,C是nXm的矩阵
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 7 行列式中常用的公式还有： 1．范德蒙德 (Vandermonde）行列式 ∏ ≤ < ≤ − − − = − j i n i j n n n n n a a a a a a a a 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 L L L L L L L 2． A B B A = 0 0 ，其中 A,B都是方阵． 3． A B B A mn ( 1) 0 0 = − ，其中 A是n阶方阵， B是m阶方阵． 上面两个公式还可以推广为： 4． A B C B A = 0 ，其中 A是n阶方阵，B是 阶 方阵， m C 是m× n的矩阵． 或 A B B A C = 0 ，其中 A是n阶方阵，B是 阶 方阵， m C 是n× m的矩阵．
2006春季班 线性代数第1章行列式 c A (-1)mAB,其中A是n阶方阵, B 0 B是m阶方阵,C是n×m的矩阵 或 =(-1)mAB,其中A是m阶方阵,B B C 是m阶方阵,C是mXn的矩阵 123 例6计算 9 1-1827 例7计算 00 0 例8计算 2 2 0 b
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 8 5． A B B C A mn ( 1) 0 = − ，其中 A是n阶方阵， B是m阶方阵，C 是n× m的矩阵． 或 A B B C A mn ( 1) 0 = − ，其中 A是n阶方阵，B 是m阶方阵，C 是m× n的矩阵． 例 6 计算 1 1 8 27 1 1 4 9 1 1 2 3 1 1 1 1 − − ． 例 7 计算 n n 0 0 1 0 0 0 1 0 L L L L L L L − ． 例 8 计算 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 b a b a a b a b ．
2006春季班 线性代数第1章行列式 1.3行列式的计算 1x+1 例9计算 x+1-1 例10计算n阶行列式 000 000III 000 00 01 a, 1 a, b2 a, b3 a, 4 b3 a2b4 例11计算 a,b3a2b3a3b3 a3 4 b, ab ab ab
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 9 1.3 行列式的计算 例 9 计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − − − − − + − − − x x x x ． 例 10 计算n阶行列式 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 L L L L L L L L L L L n n a a a a − ． 例 11 计算 1 4 2 4 3 4 4 4 1 3 2 3 3 3 3 4 1 2 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ．
2006春季班 线性代数第1章行列式 b 例12计算n阶行列式 n 例13计算:20a2 1+a11 a 例14计算 a
2006 春季班 线性代数 第 1 章 行列式 1 — 10 例 12 计算n阶行列式 b b a b a b a b b L L L L L L L ． 例 13 计算： n an a a a n L L L L L L L L L 0 0 2 0 0 1 0 0 1 2 2 1 0 ． 例 14 计算 n a a a + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 L L L L L L L ．