2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 2-1 第2章矩阵代数 2.1矩阵的概念 由mn个数排成m行n列的数表 a12.. ain 21a22a2n …… am1 am2 . amn 称为矩阵,记作A.其中a称作矩阵A的第i行第j 列的元素. 两个矩阵如果大小一样,就说他们是同型的. 两个同型的矩阵,如果对应的元素也都一样,就 说这两个矩阵相等. 若m=1,即A是1×n的, A=(a1,a2,an)称为行矩阵或行向量;若 a1 n=1,即A是mx1的,A=称为列矩阵或 am 列向量;若m=n=1,这是一个1×1的矩阵,只 有一个元素,就看成是一个数,按数的规律进行运算
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 1 第 2 章 矩阵代数 2.1 矩阵的概念 由mn个数排成m行n列的数表 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn n n a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵，记作 A．其中aij称作矩阵 A的第i行第 j 列的元素． 两个矩阵如果大小一样，就说他们是同型的． 两个同型的矩阵，如果对应的元素也都一样，就 说这两个矩阵相等． 若 m = 1 ， 即 A 是 1× n 的 ， ( ) n A a ,a , ,a = 1 2 L 称为行矩阵或行向量；若 n = 1，即 A是m ×1的， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m a a a A M 2 1 称为列矩阵或 列向量；若m = n = 1，这是一个1×1的矩阵，只 有一个元素，就看成是一个数，按数的规律进行运算．
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 2.2矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法,它们的和是和它们 同型的矩阵,相加的规则是矩阵中对应的元素相 加.即 设A=(an B 则 xn mxn A+B a+b 矩阵加法的运算性质: (1)交换律A+B=B+A; (2)结合律A+(B+C)=(4+B)+C; (3)有零矩阵0,对任意矩阵A,有 A+0=0+A=4; (4)任意矩阵A,都有负矩阵-A,使得 A+(-A)=0 其中-A=(-an) 设k是一个数,A=(an),则数k和矩阵A mxn 的数乘为 kA=lka ixn 设k,l是两个常数,A,B是同型矩阵,则 (1)1A=A,0A=0;
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 2 2.2 矩阵的运算 两个同型的矩阵可以做加法，它们的和是和它们 同型的矩阵，相加的规则是矩阵中对应的元素相 加．即 设 ( )m n A aij × = ， ( )m n B bij × = ，则 ( )m n A B aij bij × + = + ． 矩阵加法的运算性质： （１） 交换律 A + B = B + A； （２） 结合律 A + (B + C) = (A + B) + C ； （３） 有零矩阵０，对任意矩阵 A，有 A + 0 = 0 + A = A； （４） 任意矩阵 A，都有负矩阵− A，使得 A + (−A) = 0． 其中 ( ) ij − A = − a ． 设k 是一个数， ( )m n A aij × = ，则数k 和矩阵 A 的数乘为 ( )m n kA kaij × = 设k,l是两个常数， A,B是同型矩阵，则 （１）1A = A，0A = 0；
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 (2)k(l4)=(k)A; (3)k(A+B)=k4+kB; (4)(K+2)a= kA+lA 设A lmxl' B=bi 则 Xn AB=c 其中 Ci=a;b1 +ai2b2+.+an b 矩阵乘法有性质: (1)结合律(BC)=(AB)C (2)分配律(A+B)C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB (3)k是常数,则 k(AB)=(kA)B=A(KB) ●设A,B是m阶方阵,则AB|=A|B 设矩阵A是n阶方阵,A可以自乘,k个A相乘 4“叫A的/次幂 矩阵的幂有性质: (1)4A=A k+l (2)(A4)=A
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 3 （２）k(lA) = (kl)A； （３）k(A + B) = kA + kB； （４）(k + l)A = kA + lA． 设 ( )m l A aij × = ， ( )l n B bij × = ，则 ( )m n ij AB c × = ， 其中 ij i j i j il lj c = a b + a b +L+ a b 1 1 2 2 ． 矩阵乘法有性质： （１）结合律 A(BC) = (AB)C ； （２）分配律 （A + B)C = AC + BC ， C(A + B) = CA + CB． （３）k 是常数，则 k(AB) = (kA)B = A(kB)． z 设 A,B是n阶方阵，则 AB = A B ． 设矩阵 A是n阶方阵，A可以自乘，k 个 A相乘 k A 叫 A的k 次幂． 矩阵的幂有性质： （１） k l k l A A A + = ； （２）( ) kl l k A = A ．
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 设A是H阶方阵, f(r=anx"+am-x+.+ax+ao 是一个一元n次多项式. 用A代多项式中的x,得到矩阵多项式 f∫( A=aA"+aA++++++t+A+ao 矩阵多项式还是一个n阶方阵 设A xn 21 12 22 2 n 称为矩阵A的转置矩阵,记作A7 转置有性质: (1)(A)=A; (2)(A+B)=A+B7 (3)(4)=k4; (4)(AB)=BA7;
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 4 设 A是n阶方阵， 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − L 是一个一元n次多项式． 用 A代多项式中的 x，得到矩阵多项式 f A a A a A a A a I n n n n 1 0 1 1 ( ) = + + + + − − L 矩阵多项式还是一个n阶方阵． 设 ( )m n A aij × = ，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n mn m m a a a a a a a a a L L L L L L L 1 2 12 22 2 11 21 1 称为矩阵 A的转置矩阵，记作 T A ． 转置有性质： （１） A A； T T ( ) = （２） T T T (A + B) = A + B ； （３） ； T T (kA) = kA （４） T T T （AB) = B A ；
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 例1设a=(1,0,-1),A=aar,m是 正整数,求a/-A 例2(1)命题“A2=0,则A=0”是否正确, 若正确,证明之,若不正确,举例说明 (2)A是二阶矩阵,求满足A2=0的所有矩阵 3)证明A2=0,且AT=A,则A=0. 例3设A=020,而n≥2是整数,求 10 An-2A- 例4设A=110,求A 01 例5设a=(1,2,3,4) B y2,则 23 4n=?
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 5 例 1 设 ( )T α = 1, 0, − 1 ， T A = αα ， 是 正整数，求 n n aI − A ． 例２（１）命题“ 0 2 A = ，则 A = 0”是否正确， 若正确，证明之，若不正确，举例说明． （２） A是二阶矩阵，求满足 0 2 A = 的所有矩阵． （３）证明 0 2 A = ，且 A A T = ，则 A = 0． 例 3 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，而n ≥ 2是整数，求 1 2 − − n n A A ． 例 4 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 A ，求 n A ． 例5 设 ( )T α = 1, 2, 3, 4 ， T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 1 , 3 1 , 2 1 β 1, ， T A = αβ ，则 = n A ？
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 6 6,a,b2 a,b3 例6设A=a2b1a2b2a2b3,求A 3 302 303 23逆矩阵 设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得 AB= BA=J 成立,则称A为可逆矩阵.B是A的逆矩阵 矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等 于0 设A是n阶方阵,若A≠0,则 其中,A=(4)是A的伴随矩阵 设A= cd/若ad-be≠0,则 ad-bc 用矩阵的初等行变换.适合任何具体的数字矩阵 (41)→…→(A2)
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 6 例 6 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a b a b a b a b a b a b a b a b a b A ，求 n A ． 2.3 逆矩阵 设 A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得 AB = BA = I 成立，则称 A为可逆矩阵．B是 A的逆矩阵． 矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等 于０． 设 A是n阶方阵，若 A ≠ 0，则 1 1 * A A A = − ， 其中， ( ) T A = Aij * 是 A的伴随矩阵． 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = c d a b A ，若ad − bc ≠ 0，则 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − c a d b ad bc A 1 1 ． 用矩阵的初等行变换．适合任何具体的数字矩阵． ( ) ( ) → → −1 A I L I A
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 7 利用分块矩阵的逆矩阵公式: A 0 0 B 及 0 A 0 B B 0 0 逆矩阵有性质 (1)(A1)=A (2)(k4)=A,其中常数k≠0; k (3)(AB)=B1A-,其中A,B都是可逆矩 阵 4)(4 例7设矩阵A满足A2+A-4Ⅰ=0,求 (A-D) 例8设A,B,C是n阶方阵,满足ABC=1,求 (Ac-1
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 7 利用分块矩阵的逆矩阵公式： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1 1 1 0 0 0 0 B A B A 及 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 0 0 0 1 1 1 A B B A 逆矩阵有性质： （１）(A ) = A − − 1 1 ； （２）( )−1 1 −1 = A k kA ，其中常数k ≠ 0； （３）( ) ，其中 −1 −1 −1 AB = B A A,B都是可逆矩 阵； （４）( ) ( ) T T A A 1 1 − − = ． 例７ 设矩阵 A满足 4 0 2 A + A − I = ，求 1 ( ) − A − I ． 例８ 设 A,B,C 是n阶方阵，满足 ABC = I ，求 ( ) 1 1 − − AC ．
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 12-2 例9设A=4t3,B为3阶非零矩 3-11 阵,且AB=0,求t 0052 例100021 求A= 200 1100 例1已知A,B,A+B都可逆,证明A-+B1 可逆,并求(A+B-1 01-32 例12已知矩阵A=2-0, B=(A+D)(A-I),求矩阵(I+B) 12-3-2 例13设矩阵B0123 00 2 0001
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 8 例９ 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 1 1 4 3 1 2 2 A t ， B 为３阶非零矩 阵，且 AB = 0，求t ． 例 1０ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 5 2 A ，求 ? 1 = − A 例 1１ 已知 A,B, A+ B都可逆，证明 −1 −1 A + B 可逆，并求( ) 1 1 1 − − − A + B ． 例 1２ 已知矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 0 2 1 0 3 1 2 1 0 0 A ， ( ) ( ) 1 B = A + I A − I − ，求矩阵 1 ( ) − I + B ． 例 1３ 设矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 2 B
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 1201 且 0012 000 (2Ⅰ-C-B)A=C-,求矩阵A ●矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵A可逆 兮A的行列式的值不为0 兮A满秩 兮A的列向量组线性无关 兮A的行向量组线性无关 兮以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0只 有零解 台A可以通过一系列初等行变换化作单位矩阵 A可分解为一系列初等矩阵的乘积 台A的列向量可作为n维向量空间R"的一组基 兮R中任意一个向量都可以由A的列向量线性 表出 兮对任意n维向量b,方程组Ax=b必有惟一解 兮A没有零特征值 AA正定
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 9 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 C ，且 1 1 (2 ) − − I − C B A = C T ，求矩阵 A． z 矩阵可逆的等价命题 n阶矩阵 A可逆 ⇔ A的行列式的值不为０ ⇔ A满秩 ⇔ A的列向量组线性无关 ⇔ A的行向量组线性无关 ⇔以 A为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax = 0只 有零解 ⇔ A可以通过一系列初等行变换化作单位矩阵 ⇔ A可分解为一系列初等矩阵的乘积 ⇔ A的列向量可作为n维向量空间 的一组基 n R ⇔ n R 中任意一个向量都可以由 A的列向量线性 表出 ⇔对任意n维向量b，方程组 Ax = b必有惟一解 ⇔ A没有零特征值 ⇔ T AA 正定
2006基础班 线性代数第2章矩阵代数 例14设A是n阶方阵,且A≠0,若 A"=A,证明A可逆 例15设A是实矩阵,AA=1,A<0,证明 A+Ⅰ不可逆. 24矩阵方程 含有未知矩阵的等式,如AX=B,就是矩阵 方程.矩阵方程的最基本形式是AX=B和 XA=B,其中X是未知矩阵 设A是n阶方阵,B是nXm矩阵,若A可逆, 则矩阵方程AX=B有解,其解为 X=4-B 设A是n阶方阵,B是m×n矩阵,若A可逆, 则矩阵方程XA=B有解,其解为 X= BA 这里要注意的是矩阵A是可逆的.如果A不是方阵或 A不可逆,这个公式就不能用了,一般来说,要用待 定系数法求解 例16设A=020,满足 AX+Ⅰ=A2+X,求X
2006 基础班 线性代数 第 2 章 矩阵代数 2 — 10 例 1４ 设 A是n阶方阵，且 A ≠ 0, 若 T A = A * ，证明 A可逆． 例 1５ 设 A是实矩阵， A A = I, A < 0, T 证明 A + I 不可逆． 2.4 矩阵方程 含有未知矩阵的等式，如 AX = B，就是矩阵 方程．矩阵方程的最基本形式是 AX = B 和 XA = B，其中 X 是未知矩阵． 设 A是n阶方阵，B是n× m矩阵，若 A可逆， 则矩阵方程 AX = B有解，其解为 X A B−1 = ． 设 A是n阶方阵，B是m× n矩阵，若 A可逆， 则矩阵方程 XA = B有解，其解为 −1 X = BA ． 这里要注意的是矩阵 A是可逆的．如果 A不是方阵或 A不可逆，这个公式就不能用了，一般来说，要用待 定系数法求解． 例 1６ 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，满足 AX + I = A + X 2 ，求 X ．
