第一章行列式 行列式是为了求解线性方程组而引入 的,但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中,行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法
第一章 行列式 行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法
§1.1二阶、三阶行列式, 全排列及其逆序数 >§1.2n阶行列式的定义 >§1.3行列式的性质(1) >§1.4行列式性质(2) §1.5克莱姆法则
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质（1） §1.4 行列式性质（2） §1.5 克莱姆法则
阶行列式 第一节全排列及其逆序数
第一节 二、三阶行列式 全排列及其逆序数
二阶行列式与三阶行列式 aana t aaaa 31 C12L21 haloid 注 该定义称之为对角线法则
一、二阶行列式与三阶行列式 注： 该定义称之为对角线法则。 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + + = = − − +
二、全排列与逆序数 1.全排列:把n个不同的元素排成一列,叫做 这n个元素的全排列(简称排列)。 2.逆序:对于n个不同的元素,先规定各元素 之间的一个标准次序(如n个不同的自然数, 可规定由小到大)于是在这n个元素的任一排 列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时,就称这两个元素构成了一个逆序
1.全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做 这 n 个元素的全排列（简称排列）。 2.逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素 之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数， 可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排 列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不 同时，就称这两个元素构成了一个逆序。 二、全排列与逆序数
3.逆序数:一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列:逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法: 不妨设n个元素为1至n这n个自然数,并规 定由小到大为标准次序。设p1p2…pn为这n个 自然数的一个排列,考虑元素p(=12,n),如 果比p大的且排在p1前面的元素有τ个,就说
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 5.计算排列逆序数的方法： 不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规 定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个 自然数的一个排列，考虑元素 pi (i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
P这个元素的逆序数是x,即 z(p1P2…pn)=1+72+….+n 就是这个排列的逆序数。 例1求排列13.(2n-1)24.(2n)的逆序数 解:在该排列中,1~(2n-1)中每个奇数的逆 序数全为0,2的逆序数为(n-1),4的逆序数 为(n-2),,(2n-2)的逆境序数为1,2n的逆 序数为0,于是该排列的逆序数为 7=(n-1)+(n-2)+…+1+0 (n-1) 2
pi 这个元素的逆序数是 i，即： ( p1 p2 …pn )= 1 + 2 +…+ n 就是这个排列的逆序数。 例1 求排列13…(2n − 1)24…(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 ～(2n−1)中每个奇数的逆 序数全为0，2的逆序数为(n − 1)，4的逆序数 为(n − 2),…，(2n − 2)的逆境序数为1，2n的逆 序数为0，于是该排列的逆序数为 ( 1) ( 1) ( 2) ... 1 0 2 n n n n − = − + − + + + =
例2在1~9构成的排列中,求k,使排列1 274j56k9为偶排列 解:由题可知,j、k的取值范围为{3,8} 当j=3、k=8时,经计算可知,排列 127435689的逆序数为5,即为奇排列 当产=8、k=3时,经计算可知,排列 127485639的逆序数为10,即为偶排列 ∴j=8,k=3
例2 在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列 解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8} 当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列 127435689的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列 127485639的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3
例3设排列p1P2p3…pn2的逆序数为k,求pnp3P2 p1的逆序数(p1P2p3pn,是1~m的某一排列) 解:∵排列p1p2p3…pn与排列pnpP3P2p1的逆序 数之和等于1~n这n个数中任取两个数的组合 数 z(P1P2…pDn)+(n,Dn21…pD1)=Cn n(n k
例3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，求pn…p3 p2 p1的逆序数（ p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列） 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序 数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合 数即 ： 2 1 2 1 1 1 1 ( 1) ( ... ) ( ... ) 2 ( 1) ( ... ) 2 n n n n n n n n p p p p p p C n n p p p k − − − + = = − = −
例4求排列(2k)(2k-1)2(2k-2)(k+1)k 的逆序数,并讨论奇偶性 解:2k的逆序数为2k-1;1的逆序数为0 (2k-1)的逆序数为2k-3;2的逆序数为0 (2k-2)的逆序数为2k-5;3的逆序数为0 (k+1)的逆序数为1;k的逆序数为0 z=1+3+…+(2k-1)=k2 当k为偶数时,k2为偶数,当k为奇数时k2为奇数
2 1(2 1)2(2 2)...( 1) , 2 2 1 1 0 (2 1) 2 3 2 (2 2) 2 5 3 ............ ( 1) 1 k k k k k k k k k k k k k − − + − − − − − + 求排列( ) 的逆序数 并讨论奇偶性。 的逆序数为 ； 的逆序数为 的逆序数为 ； 的逆序数为0 的逆序数为 ； 的逆序数为0 的逆序数为 ； 的 解： 逆序数为0 例4 2 2 2 1 3 ... (2 1) , , , k k k k k k = + + + − = 当 为偶数时 为偶数 当 为奇数时 为奇数