第三章矩阵的初等变换 本章通过引进矩阵的初等变换,建立 矩阵的秩的概念,然后再利用矩阵的初 等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组
第三章矩阵的初等变换 本章通过引进矩阵的初等变换，建立 矩阵的秩的概念，然后再利用矩阵的初 等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组
§3.1矩阵的初等变换 >§3.2矩阵的秩 §33初等矩阵 §3.4线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 矩阵的秩 §3.3 初等矩阵 §3.4 线性方程组的解
第节矩的初
第一节 矩阵的初 等 变 换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理 论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例:用消元法解下面的线性方程组 x1-x2-x3+x4=2(1) x+x2-2x3+x4=4(2) 4x1-6x2+2x3-2x4=4(3) 3x1+6x2-9x3+7x4=9(4) 2-1-112 方程组的增广矩阵B 4-62-24 36-979
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理 论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例：用消元法解下面的线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 (1) 2 4 (2) 4 6 2 2 4 (3) 3 6 9 7 9 (4) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = − − − = − − − 方程组的增广矩阵B
(1)←>(2) 2x2+x4=4(1 11-214 2x1-x2-x3+x4=2(2 2x,-3x+ (3)|2-31-12 3x1+6x2-9x3+7x4=9(4) 36_97 2[x1+-2x、+x1=4(1)2(11-214 3x2+3x3-x4=-6(2 0-33-1-6 2x2+2x2-2x4=0(3) 0-22-20 3x2-3x3+4x4=-3(4)(03-34-3 (3) 4(1) 1-214 3)+(4) 0(2) 4+乃 10 3x,+3 (3) 0-33-1-6 (4) 0003-9
1 2 3 (1) (2) 1 2 3 4 (3) 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 (1) 1 1 2 1 4 2 2 (2) 2 1 1 1 2 ~ ~ 2 3 2 (3) 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 (4) 3 6 9 7 9 r r r x x x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − − + = − − − + − = − − + − + = − 3 2 2 1 4 (3) (2) (2) 2 (1) 1 2 3 4 2 (4) 3 (1) 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 (1) 1 1 2 1 4 3 3 6 (2) 0 3 3 1 6 ~ ~ 2 2 2 0 (3) 0 2 2 2 0 3 3 4 3 (4) 0 3 3 4 3 r r r r r r x x x x x x x x x x x x x − − − − − − + − + = − − + − = − − − − − + − = − − − + = − − − 3 3 2 4 3 (3) ( 2) ( 2) (3) (2) 1 2 3 4 (3) (4) 2 3 4 2 3 4 4 2 4 (1) 1 1 2 1 4 0 (2) 0 1 1 1 0 ~ ~ 3 3 6 (3) 0 3 3 1 6 3 9 (4) 0 0 0 3 9 r r r r r x x x x x x x x x x x − − + + + − + = − − + = − − + − = − − − − = − −
(3)+3x(2)|x1+ 4(1) 乃+3 x2-x3+x4=0(2) 01-110 6(3) 0002-6 0001-3 4x1+x2-2x3+x4=4(1) 214 0(2) n4<>/3 0 110 3(3) 0001-3 0=0(4) 00000 0-104 (2)-(3) 3(2)501-103 3(3) 0001-3 0=0(4) 00000
3 2 4 (3) 3 (2) 3 1 2 3 4 (4) 3 3 2 3 4 4 4 2 4 (1) 1 1 2 1 4 0 (2) 0 1 1 1 0 ~ ~ 2 6 (3) 0 0 0 2 6 3 (4) 0 0 0 1 3 r r r x x x x x x x x x + + + − + = − − + = − = − − = − − 3 4 4 3 (3) 2 (4) 2 1 2 3 4 (4) (3) 2 3 4 4 2 4 (1) 1 1 2 1 4 0 (2) 0 1 1 1 0 ~ ~ 3 (3) 0 0 0 1 3 0 0 (4) 0 0 0 0 0 r r r r x x x x x x x x − − + − + = − − + = − = − − = 1 2 3 2 3 (1) (2) (3) 1 3 (2) (3) 2 3 4 4 (1) 1 0 1 0 4 3 (2) 0 1 1 0 3 3 (3) 0 0 0 1 3 0 0 (4) 0 0 0 0 0 ~ ~ r r r r r x x x x x − − − − − − − = − − = − = − − =
x2+4 x3+3令x3=C即方程组的解为 C+ 4 C+3 0 0 在上述过程中,对线性方程组的消元操作实 际上就是对整个线性方程组进行了三种操作 (1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数 (2)交换方程组中两个方程的位置; (3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去
1 3 2 3 3 4 4 3 3 x x x x x c x = + = + = = − 令 ，即方程组的解为： 在上述过程中，对线性方程组的消元操作实 际上就是对整个线性方程组进行了三种操作: (1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数； (2)交换方程组中两个方程的位置； (3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。 1 2 3 4 4 1 4 3 1 3 1 0 3 0 3 x c x c c x c x + + = = = + − − x
上述的三种操作又都是可逆的,因而变换前的 方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时 还看到,上述变换过程中实际上只对方程组的 系数和常数进行运算,这就相当于是对该方程 组所对应的增广矩阵进行了 (1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数; (2)交换两行元素的位置; (3)给某一行所有元素乘常数k加到另一行的 对应元素上去
上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的 方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时 还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的 系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程 组所对应的增广矩阵进行了： (1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数； (2)交换两行元素的位置； (3)给某一行所有元素乘常数 k 加到另一行的 对应元素上去
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 1)交换两行(记为r+) 2)以数k≠0乘某一行所有元素(记作r×k) 3把某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素 上去(记作;+k;) 把定义中和“行”换成“列”,即得矩阵的 初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成 矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩 阵的初等变换
定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1)交换两行(记为ri↔rj ); 2)以数k 0乘某一行所有元素（记作rj×k）; 3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素 上去（记作ri+krj ） 把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的 初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成 “ c”）。 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩 阵的初等变换
显然,三种初等变换都是可逆的,且其变 换是同一类型的初等变换。变换r←r;的逆变换 就是本身;变换r×k的逆变换为r÷k;变换 r+的逆变换为7-kr 如果A经过有限次初等变换变为矩阵B, 称矩阵A与B是等价的,记为A~B。 矩阵的等价关系有如下性质: 反身性:A~A 对称性:A~B,则B~A 传递性:A~B,B~C,则A~C
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为ri− k rj。 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， 称矩阵 A与 B是等价的，记为A～B 。 矩阵的等价关系有如下性质： ☞ 反身性： A～ A 对称性： A～B ，则B ～ A 传递性： A～B， B ～ C，则A ～ C