第二次作业 21 1已知两个线性变换{x=-2y+3y2+2y,{y2=2=+3,求从,2,=到x,x,x 4J x3=4y1+y2+5y3 的线性变换 解:由已知可得 201 0 yyy x3 y3 201/-310 x2 232120 233 12-49 10-116 2设A=-111,B=13-1,求1)AB-2A2)A2-B 214 3)(A+B)(A-B) 4)AB-BA 5)A B 2 解:1)AB-2A=-111×13-1-2|-111 422 426 22 22 222 2 402 2-2 204 2)A2-B2=-111-13 311 210 -3-117 3-1 0-10)(-8-120 3)(A+B)A-B)=040-2-22|=-8-88 305 2-3
ԛ֝ұᆴྜ 1.ᏆⶹϸϾ㒓ᗻবᤶ, 1 13 2 12 3 3 12 3 2 232 4 5 x yy x yy y x yy y ì = + ï í =- + + ï î = ++ , 1 12 2 13 3 23 3 2 3 y zz y zz y zz ì =- + ï í = + ï î =- + ,∖Ң 123 zzz , , ࠄ 123 xxx , , ⱘ㒓ᗻবᤶ. 㾷˖⬅Ꮖⶹৃᕫ˖ 1 11 1 2 22 2 3 33 3 1 1 2 2 3 3 2 01 3 1 0 2 3 2 2 0 1 4 15 0 13 2 01 3 1 0 6 1 3 2 3 2 2 0 1 12 4 9 4 1 5 0 1 3 10 x yy z x yy z x yy z x z x z x z æö æö æö æö æö æ ö - ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ ç ÷ =- = èø è ø - èø èø èø èø æö æö æ öæ ö - - ç÷ ç÷ ç ÷ç ÷ =- = - è øè ø - - èø èø g ˈ 1 2 3 1 16 z z z æ öæ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø - è ø 2.䆒 1 11 12 1 1 1 1, 1 3 1 1 11 2 1 4 æ öæ ö ç ÷ç ÷ =- = - è øè ø - A B ˈ∖ 1˅ AB A - 2 2˅ 2 2 A B- 3˅( )( ) A BA B + - 4˅ AB BA - 5˅ T A B 㾷˖1) 1 1 1 12 1 1 1 1 2 1 1 1 13 1 2 1 1 1 1 11 2 1 4 1 11 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - =- ´ - - - è øè ø è ø - - AB A 464 2 2 2 242 222 2 2 2 400 206 2 22 024 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ = -- = è øè ø è ø - 2) 2 2 2 2 1 1 1 12 1 111 13 1 1 11 2 1 4 æ öæ ö ç ÷ç ÷ - =- - - è øè ø - A B 1 13 59 3 4 8 0 1 1 1 2 10 6 3 11 7 3 11 7 3 9 4 4 8 æ öæ ö æ ö - - ç ÷ç ÷ ç ÷ =- - - - =- - è øè ø è ø - --- 3) 2 3 2 0 1 0 8 12 0 ( + )( ) 0 4 0 2 2 2 8 8 8 3 0 5 1 2 3 5 13 15 æ öæ ö æ ö - -- ç ÷ç ÷ ç ÷ - = ×- - =- - è øè ø è ø --- -- - AB A B
464)(024(440 AB-BA=22 2 353|=5-3-1 206)5-17 222 5)AB=11-1113-1=04-4 3.计算计算矩阵的乘积 431(7 570八(1 4×7+3×2+1×1 35 232=1×7+(-2)×2+3×1=6 570 5×7+7×2+0×1 2 解:(123)2|=(1×3+2×2+3×1)=(10) 10 62-20 3 21400-12 解: 21400-12
4) 464 0 2 4 4 4 0 222 3 5 3 5 3 1 206 5 17 3 1 1 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - = -- = - - è øè ø è ø - -- AB BA 5) T 1 1 1 12 1 22 2 =1 1 1 1 3 1 0 4 4 1 1 1 21 4 46 4 æ öæ ö æ ö - ç ÷ç ÷ ç ÷ - -= - è øè ø è ø A B 3ˊ䅵ㅫ䅵ㅫⶽ䰉ⱘЬ⿃ 1˅ 4317 1 23 2 5701 æ öæ ö ç ÷ç ÷ - ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ 4 3 1 7 4 7 3 2 1 1 35 1 2 3 2 1 7 ( 2) 2 3 1 6 5 7 0 1 5 7 7 2 0 1 49 æ öæ ö æ ö æ ö ´ + ´ +´ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ - = ´ +- ´ + ´ = è øè ø è ø è ø ´+´+´ 2˅( ) 3 1232 1 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 㾷˖( ) 3 1 2 3 2 (1 3 2 2 3 1) (10) 1 æ ö ç ÷ = ´+´+´ = ç ÷ è ø 3˅ ( ) 1 1 32 10 2 3 æ ö ç ÷ - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø 㾷˖ ( ) 1 3 2 10 1 3 210 32 10 2 6 2 20 3 9 6 30 æö æ ö - ç÷ ç ÷ - -- - = - èø è ø - 4˅ 13 1 2 1 40 0 1 2 1 134 1 3 1 40 2 æ ö ç ÷ æ ö - ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ è øç ÷ è ø - 㾷˖ 13 1 2 1 40 0 1 2 6 7 8 1 1 3 4 1 3 1 20 5 6 40 2 æ ö æö æö ç ÷ - - ç÷ ç÷ ç ÷ = èø èø - - -- ç ÷ è ø -
x1x2x3川a21a x1x2x3川a12 xx =(a,x+a122+a,3x, 12*+a2-2+a23 a,3x1+a2-2+a33x3)xx2 a1x2+a2x2+a3x2+2a2x1x2+2a3x3+2a2x2x3 6)100a21a 00 010)a1a2a 解:100 7 01 00k 00 解 01 00 00k 32100 10/1031 21 210 000100 1252 0 0 012-4 0 0-2300-43 0003八(000-3)(000-9 100 k01
5˅( ) 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 31 32 33 3 aaa x xxxa a a x aaa x æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ ( ) ( ) 11 12 13 1 1 2 3 12 22 23 2 13 23 33 3 1 11 1 12 2 13 3 12 1 22 2 23 3 13 1 23 2 33 3 2 3 222 11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 222 aaa x xxx a a a x aaa x x ax ax ax ax ax ax ax ax ax x x a x a x a x a xx a xx a xx æ öæ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø æ ö = ++ ++ ++ ´ ç ÷ ç ÷ è ø =+++ + + 6˅ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 010 100 001 aaa aaa aaa æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ 11 12 13 21 22 23 21 22 23 11 12 13 31 32 33 31 32 33 010 100 001 aaa aaa aaa aaa aaa aaa æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ = è øè ø è ø 7˅ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 100 010 0 0 aaa aaa aaa k æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø 㾷˖ 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 100 010 0 0 a a a a a ka a a a a a ka a a a k a a ka æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ = è øè ø è ø 8) 1210 10 3 1 0101 01 2 1 0021 00 2 3 0003 00 0 3 æ öæ ö ç ÷ç ÷ - - è øè ø - 㾷˖ 1210 10 3 1 12 5 2 0101 01 2 1 01 2 4 0021 00 2 3 00 4 3 0003 00 0 3 00 0 9 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - - = - - è øè ø è ø - - 9) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 100 010 0 1 aaa aaa aaa k æ öæ ö ç ÷ç ÷ è øè ø
a21a2a23‖010|=a21+ 31a2a3八k01 n(n 4设A=0k1,求A,A3并证明A"=0k λ10)λ10 解:A2=021‖01=0x22元 004八(00x A3323元) A=A2.A=033元 00A 和k(k-1)2k-2 2 假设n=k时,4=0x4kx+1(k≥2)成立 则当n=k+1时: ak k2k-1 k( Ck A(k+1)2h!(k+1)k A+=A·A=02 0 (k+1)1 00λ 2k+1 -1n(n 1) n-2 由数学归纳法原理知:A=0x 00 5设A、B为n阶方阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵 证明:因为A=A,所以(BAB)=BA(B)=B1AB 6设A、B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充要条件是AB=BA 证明:因为A1=A,B=B
㾷˖ 11 12 13 11 13 12 13 21 22 23 21 23 22 23 31 32 33 31 33 32 33 100 010 0 1 a a a a ka a a a a a a ka a a a a a k a ka a a æ öæ ö æ ö + ç ÷ç ÷ ç ÷ = + è øè ø è ø + 4.䆒 1 0 0 1 0 0 k k k æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A ˈ∖ 2 3 A A, .ᑊ䆕ᯢ 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 nn n n nn n n n k nk k k nk k - - - æ ö - ç ÷ = è ø A 㾷˖ 2 2 2 2 10 10 2 1 0 10 1 0 2 00 00 0 0 l l l l l l ll l l l æ ö æ öæ ö ç ÷ = = ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø ǹ 3 2 32 3 2 3 3 3 0 3 0 0 ll l l l l æ ö ç ÷ = ×= ç ÷ è ø A AA ؛䆒 n k = ᯊˈ 1 2 1 ( 1) 2 0 ( 2) 0 0 kk k k kk k k k k k k ll l l l l - - - æ ö - ç ÷ = ³ è ø A ៤ゟDŽ ߭ᔧ n k = +1ᯊ˖ 1 2 11 1 1 1 11 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 1 0 0 0 1 0 ( 1) 00 0 0 0 0 kk k k k k kk k k k k k k kk k k k k A AA k k ll l l l l l ll l l l l l l - - +- - + - +- + æ öæ ö - + + ç ÷ç ÷ æ ö = ×= = + ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø ⬅᭄ᄺᔦ㒇⊩ॳ⧚ⶹ: 1 2 1 ( 1) 2 0 0 0 nn n n nn n n n n A n ll l l l l - - - æ ö - ç ÷ = è ø 5.䆒 AǃB Ў n 䰊ᮍ䰉ˈϨ A Ўᇍ⿄ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ T B AB гᰃᇍ⿄ⶽ䰉. 䆕ᯢ˖Ў T A A = ˈ᠔ҹ T T T T TT T ( ) () B AB B A B B AB = = 6.䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ᇍ⿄ⶽ䰉ˈ䆕ᯢ AB ᰃᇍ⿄ⶽ䰉ⱘܙ㽕ᴵӊᰃ AB BA = . 䆕ᯢ˖Ў T T A AB B = =
充分性:AB=BA→AB=BA=(AB) 即AB是对称矩阵 必要性:(AB)=AB→AB=(AB)=BA=BA 7设A是n阶对称矩阵,且A=O,证明A=O 解:设A=(an)mn,由于A=A且A2=O,所以 42=AA 0→∑q2=01=12,,m) ∑ →an=0(,j=1,2,…,n)→A=O 8求下列矩阵的逆矩阵 1000 2130 00 5-4 解 (1)A= A1=5,A21=2×(-1),A12=2×(-1),A2=1 A Au Ai 5 A A12A2 (2)A=012,|A|=1 001 A1=1A2=0A3=0A2 A23=0A41=7 2A3
ߚܙᗻ˖ TT T AB BA AB B A AB =Þ = = ( ) े AB ᰃᇍ⿄ⶽ䰉. ᖙ㽕ᗻ˖ T T TT () () AB AB AB AB B A BA =Þ= = = . 7.䆒 A ᰃ n 䰊ᇍ⿄ⶽ䰉ˈϨ 2 A O= ˈ䆕ᯢ A O= 㾷˖䆒 ( )ij n n a A = ´ ˈ⬅Ѣ T A A = Ϩ 2 A O= ˈ᠔ҹ 2 1 1 2 2 1 2T 2 2 1 1 2 1 0( 1,2,..., ) n j j n j n j ij n j ij j n nj j a a ai n a a = = = = = æ ö ç ÷ = = =Þ = = è ø å å å å å A AA O 0 ( , 1,2,..., ) ij Þ = = Þ= a ij n A O 8.∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ䗚ⶽ䰉 1) 1 2 2 5 æ ö ç ÷ è ø 2) 12 3 01 2 00 1 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 3) 12 1 34 2 5 41 æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø - 4) 1000 1200 2130 1214 æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 㾷 (1) 1 2 2 5 æ ö = ç ÷ è ø A A =1 11 21 12 22 AA A A = = ´- = ´- = 5, 2 ( 1), 2 ( 1), 1 11 21 12 22 5 2 2 1 * æ ö æ ö - = = ç ÷ ç ÷ è ø è ø - A A A A A ᬙ˖ 1 1 5 2 2 1 - * æ ö - = = ç ÷ è ø - A A A (2) 12 3 0 1 2 | | =1 00 1 æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A A ˈ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 AA A A AA A A A = = = =- = = = =- = 1 0 0 2 1 0 7 2 1
27 故:A1=A=01-2 (3)A=34-2,|A|=2 A13=-32A23=14A3=-2 210 2 167 000 (4,.30/14=24A21=A1=A1=A42=A2=A3=0 00 A1=242=1243=844=6 00 120 A2=(-1)230=-12A3=(-1)210=-12A4=(-1)213=3 l21 100 2=(-1)210=4A2=(-1)213=-5A4=(-1)120=-2 1000 263 824124 9求解下列方程(组) 4-6 21
ᬙ˖ 1 1 27 1 01 2 00 1 - * æ ö - == - ç ÷ ç ÷ è ø A A A (3) 12 1 3 4 2 | |2 5 41 æ ö - ç ÷ = -= ç ÷ ç ÷ è ø - A A ˈ 11 21 31 12 22 32 13 23 33 4 2 0 13 6 1 32 14 2 =- = = =- = =- =- = =- A AAA AA A AA ᬙ 1 210 1 13 1 3 2 2 16 7 1 - * æ ö - ç ÷ = =- - ç ÷ ç ÷ - - è ø A A A (4) 21 31 41 32 42 43 1000 1200 | | 24 0 2130 1214 æ ö ç ÷ = = ====== ç ÷ ç ÷ è ø A A AAAAAA 11 22 33 44 A A AA = = == 24 12 8 6 3 12 100 ( 1) 2 3 0 12 114 A = - =- 4 13 120 ( 1) 2 1 0 12 124 A = - =- 5 14 120 ( 1) 2 1 3 3 121 A =- = 5 23 100 ( 1) 2 1 0 4 124 A = - =- 6 24 100 ( 1) 2 1 3 5 121 A = - =- 7 34 100 ( 1) 1 2 0 2 121 A = - =- ᬙ˖ 1 1 0 00 1 1 0 0 2 2 1 1 11 0 2 63 1 5 11 8 24 12 4 - * æ ö ç ÷ - = = - - - - è ø A A A 9.∖㾷ϟ߫ᮍ(㒘) 1) 25 4 6 13 2 1 æöæ ö - ç÷ç ÷ = èøè ø X
解:X 12八21 1-1)(1-13 2)X210=432 13/101 解:X=432‖210 32123-2 43 0x00 00 010)(1-20 010 43100)(010(1-43/100 解:X=10020-1001=10020-100 001 -20八010)(001八1-20人010 30 x1+2x2 4){2x,+2x,+5x=2 3x1+5x2+x3 3 225 X 2|=0 10设A=O(k为正整数),证明(E-A)=E+A+A2++A4 证:(E-A(E+A+A2 =E+A+A2+…+4-1-(4+42++4+A)=E 所以:(E-A)=E+A+A2+…+A4-1 l设n阶方阵A满足关系式A+a14+a24-2+…+aA+aE=O(a4≠0),其 中a12a2…,xk-12k都是实数,证明:A是非奇异矩阵,并写出它的逆矩阵 证:因为A4+a14-+a2A-2++aA+a1E=O(a4≠0)
㾷˖ 1 2 5 4 6 3 5 4 6 2 23 13 2 1 1 2 2 1 0 8 - æ ö æ ö æ öæ ö æ ö - -- - == = ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø è øè ø è ø - X 2) 2 1 1 1 13 21 0 432 1 1 1 1 25 æ öæ ö - - ç ÷ç ÷ = è øè ø - - X 㾷˖ 1 1 13 2 1 1 1 13 1 0 1 1 4 3 2 2 1 0 4 3 2 23 2= 3 1 25 1 1 1 1 25 33 0 - æ öæ ö æ öæ ö - -- = = -- ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø - - -- X 3) 010 100 1 4 3 100 001 2 0 1 001 010 1 2 0 æ öæ öæ ö - ç ÷ç ÷ç ÷ = - è øè øè ø - X 㾷˖ 1 1 010 1 4 3 100 010 1 4 3 100 100 2 0 1 001 100 2 0 1 001 001 1 2 0 010 001 1 2 0 010 - - æ ö æ öæ ö æ öæ öæ ö - - = -= - ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è øè ø è øè øè ø - - X 2 10 =1 3 4 10 2 æ ö - ç ÷ - ç ÷ è ø - 4) 123 123 1 23 231 225 2 35 3 xxx xxx x xx ì ++= ï í ++= ï î + += 㾷˖ 123 1 225 2 351 3 æ ö æö ç ÷ ç÷ = ç ÷ ç÷ è ø èø X ᬙ˖ 1 123 1 1 225 2 0 351 3 0 - æ öæö æö = = ç ÷ç÷ ç÷ è øèø èø X 10.䆒 ( ) k A O= kЎℷᭈ᭄ ˈ䆕ᯢ 1 21 ( ) ... - -k EA EAA A - = ++ ++ 䆕˖ 2 1 ( )( ... ) k- E AE A A A - ++ ++ 2 12 1 ... ( ... ) k kk - - = ++ ++ - + ++ + = EAA A AA A A E ᠔ҹ˖ 1 21 ( ) ... - -k EA EAA A - = ++ ++ 11.䆒 n 䰊ᮍ䰉 A ⒵䎇݇㋏ᓣ 1 2 12 1 ... ( 0) kk k a a aa a kk k - - A A A A EO + + ++ + = ¹ - ˈ݊ Ё 12 1 , ,..., , aa a a k k - 䛑ᰃᅲ᭄ˈ䆕ᯢ˖A ᰃ䴲༛ᓖⶽ䰉ˈᑊߎݭᅗⱘ䗚ⶽ䰉. 䆕˖Ў 1 2 12 1 ... ( 0) kk k a a aa a kk k - - A A A A EO + + ++ + = ¹ -
所以A(A-+a142+a2A-3+…+a1)=-aAE 即—A(4-+a14-+a24-3+…+aA1)=E 故A=--(A+a142+a24-+…+a-1) 2.设n阶方阵A满足关系式A2-3A-2E=O,证明A可逆,并求其逆矩阵 证:因为A2-3A-2E=O→A2-3A=2E→A(-3E)=E 所以A可逆且A=(A-3E) 13.设n阶方阵A、B满足A+B=AB,证明: 1)A-E可逆;2)若B=210,求A 002 证:1)因为A+B=AB→A+B-AB-E=-E→A-E-(A-E)B=-E 所以(A-E(B-E)=E,即A-E与B-E均可逆,且互为可逆矩阵 2)A+B=AB→A(B-E)=B→A=B(B-E) 03 B-E 0 001 B-E) 0 006 B(B-E)=210-2 002八(0 63002 00060 630 0012 12-3 14设P012-3 0120 C ,(2E-CB)A41=C1,求A 0010 000 0001 1201 解:设B= 12-3(BB2 C 0120(BC2 0012(oB)0010(oE2 其中
᠔ҹ 12 3 12 1 ( ... ) kk k aa aa k k -- - AA A A E + + + + =- - े 12 3 12 1 1 ( ... ) kk k k k aa a a -- - + + ++ = - - AA A A E ᬙ 1 12 3 12 1 1 ( ... ) kk k k k aa a a - -- - A AA A =- + + + + - 12. 䆒 n 䰊ᮍ䰉 A ⒵䎇݇㋏ᓣ 2 A A EO -- = 3 2 ,䆕ᯢ A ৃ䗚ˈᑊ∖݊䗚ⶽ䰉. 䆕˖Ў 2 2 1 3 2 3 2 ( 3) 2 A A E O A A E AA E E - - =Þ - = Þ - = ᠔ҹ A ৃ䗚Ϩ 1 1 ( 3) 2 - A AE = - 13.䆒 n 䰊ᮍ䰉 AǃB ⒵䎇 A B AB + = ˈ䆕ᯢ˖ 1) A E- ৃ䗚˗2)㢹 1 30 210 002 æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø B ˈ∖ A 䆕˖1) Ў A B AB A B AB E E A E A E B E + = Þ + - - =- Þ - - - =- ( ) ᠔ҹ ( )( ) A EB E E - -= ˈे A E- Ϣ B E- ഛৃ䗚ˈϨѦЎৃ䗚ⶽ䰉 2) 1 () ()- A B AB A B E B A B B E += Þ - =Þ= - 1 0 30 0 30 1 2 0 0 ( ) 200 6 0 0 1 0 06 - æö æö - ç÷ ç÷ -= Þ - = - èø èø BE BE 1 30 0 30 6 3 0 1 1 ( ) 2 1 0 200 26 0 6 6 0 0 2 0 0 6 0 0 12 æ öæ ö æ ö - ç ÷ç ÷ ç ÷ = -= - =- è øè ø è ø A BB E 14.䆒 1T 1 12 3 2 1201 01 2 3 0120 , ,(2 ) 00 1 2 0010 00 0 1 0001 - - æ öæ ö - - ç ÷ç ÷ - = = -= è øè ø B C E C BA C ˈ∖ A 㾷˖䆒 12 12 1 2 12 3 2 1201 01 2 3 0120 , 00 1 2 0010 00 0 1 0001 æ ö æö - - ç ÷ ç÷ - æö æö = == = ç÷ ç÷ èø èø è ø èø BB BC B C OB OE ݊Ё
O E CB= B-B C2B,_E2 B:B2-B1C2B Er B八(O B BI B, B, C2B 20八(0 20八(01 24 B, B,-B,C2 B 0-7 CB= E2BB2-BC2B1010-7 B1 001 000 03-11 2E-C-1B_0107 E2 B3 001-2 B 0001 AT=(2E-C-lB)C-I-E2-B, B (B-B-C,_ B-BC2-B,B 0 E B 而 B1C2-B3B1= 116 01八20(07人01 0-(07 2116 1000 01-2-7 2100 0012 即A= 1-210 0001 16-721 1-4 15.设PAP=A,其中P 求A"1 解:PAP=A故A=PAP所以A=PAP 1(14 P=3 P
1 1 1 1 12 2 - - - æ ö - = ç ÷ è ø B BC C O E 11 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 21 1 2 2 1 1 -- - - - æöæ ö æ ö - = = ç÷ç ÷ ç ÷ èøè ø è ø B B C E B B B CB B B C B OE O B O B 1 1 1 2 0 1 - æ ö - = ç ÷ è ø B ˈ 1 1 2 1 2 3 2 74 01 2 3 2 3 - æ öæ ö æ ö - -- - = = ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø - - B B 1 1 21 1 2 01 12 41 12 4 7 0 1 20 01 2 0 01 2 4 - æ öæ öæ ö æ öæ ö æ ö - - -- = == ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè øè ø è øè ø è ø B CB 1 1 1 2 1 21 3 11 0 7 - - æ ö - - = ç ÷ è ø - B B B CB 1 1 1 2 1 2 1 21 1 1 0 3 11 01 0 7 00 1 2 00 0 1 - - - æ ö - æ ö - ç ÷ - = = ç ÷ ç ÷ è ø ç ÷ è ø E B B B CB C B O B 1 2 3 1 1 1 0 3 11 010 7 2 001 2 000 1 - - æ ö - ç ÷ æ ö -= = ç ÷ ç ÷ - ç ÷ è ø è ø E B E CB B 1 11 1 1 1 T 1 11 2 31 1 1 2 31 1 12 1 1 2 (2 ) - -- - - - - -- æö æ ö - -- æ ö - =- = = ç÷ ç ÷ ç ÷ èø è ø è ø E BB B B C BB B BC A E CB C OB O B O E 㗠 1 1 1 2 31 1 2 0 1 3 11 1 2 4 1 3 17 1 16 0 1 20 0 7 0 1 2 0 0 7 2 7 - - æ öæ ö æ öæ ö æ ö æ ö æ ö - --- - - - =- - =- - = ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè ø è øè ø è ø è ø è ø - - B C BB T 1 2 1 16 1 0 0 0 0 1 2 7 2 1 00 0 0 1 2 1 210 0 0 0 1 16 7 2 1 æ öæ ö - ç ÷ç ÷ -- - = = - è øè ø - A A े 15ˊ䆒 1 11 1 0 0 2 - æ öæö - = = ç ÷ç÷ è øèø P AP ȁ P ȁ A -1 -4 ˈ݊Ё ˈ ˈ∖ 1 1 . 㾷˖ -1 P AP = ȁᬙ -1 A P = ȁP ᠔ҹ 11 11 1- A P = ȁ P P = 3 1 4 1 1 * æ ö = ç ÷ è ø - P 1 1 1 4 3 1 1 - æ ö = ç ÷ è ø - - P
10 而A 27312732 02 16设m次多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxm, f(A)=a0E+a14+a2A2+…+an4,f(4)称为方阵A的m次多项式。设 1)f(x)=1+x+x2,A=130 214 2)f(x)=-3+2x+x2,A 试求f(4) 100(101)(101 解:1)f(4)=E+A+A2=010+130+130 516 140+491=5131 215)11718)(13823 2)f(A)=-3E+2A+A= 01 03)(03 30)(40(40)(50 0-3)(06)(09)(012 17设n阶矩阵A的伴随矩阵为A,证明|AHAP-1 证明:当|A≠0时,这时矩阵A可逆,且AA=A|E 所以有:| 1AAr→AHA 当A=O时,显然有A=O命题成立 当A≠O但|AF=0时,必有A=0,如若不然,这时A可逆
㗠 11 11 11 1 0 1 0 0 2 0 2 æ ö - æ ö - = = ç ÷ ç ÷ è ø è ø ȁ ᬙ 11 11 1 4 1 4 2731 2732 1 0 3 3 1 1 1 1 683 684 0 2 3 3 æ ö - - - ç ÷ æö æ ö æ ö = = ç÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ èø è ø - - è øç ÷ - - è ø A 16.䆒 m 乍ᓣ 2 01 2 ( ) ... m m f x a ax ax a x = + + ++ ˈ䆄 2 012 ( ) ... m m f a aa a A EAA A = + + ++ ˈ f ( ) A ⿄Ўᮍ䰉 A ⱘ m 乍ᓣDŽ䆒 1) 2 fx x x () 1 =+ + ˈ 101 130 214 æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø A 2) 2 fx x x () 3 2 =- + + ˈ 2 0 0 3 æ ö = ç ÷ è ø A 䆩∖ f ( ) A 㾷˖1) 2 2 100 101 101 () 0 1 0 1 3 0 1 3 0 001 214 214 f æ öæ öæ ö ç ÷ç ÷ç ÷ = ++ = + + è øè øè ø A EAA 201 3 1 5 5 1 6 1 4 0 4 9 1 5 13 1 2 1 5 11 7 18 13 8 23 æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ =+ = è øè ø è ø 2) 2 2 10 20 20 () 3 2 3 2 01 03 03 f æ ö æ öæ ö =- + + =- + + ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø A E AA 3 0 40 40 5 0 0 3 0 6 0 9 0 12 æ öæ öæ ö æ ö - = ++= ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè øè ø è ø - 17.䆒 n 䰊ⶽ䰉 A ⱘԈ䱣ⶽ䰉Ў * A ˈ䆕ᯢ * 1 | || |n- A A = 䆕ᯢ˖ᔧ| |0 A ¹ ᯊˈ䖭ᯊⶽ䰉 A ৃ䗚ˈϨ * AA A E =| | ᠔ҹ᳝˖ * *1 | || | | | | | | | n n- AA A A A =Þ= ᔧ A O= ᯊˈᰒ✊᳝ * A O= ੑ乬៤ゟ˗ ᔧ AO A ¹ = Ԛ| | 0 ᯊˈᖙ᳝ * | |0 A = ˈབ㢹ϡ✊ˈ䖭ᯊ * A ৃ䗚ˈ
