PAB)=P(A)P(B),故事件A、B独立 解二利用条件概率判断,由P(A=1,P(41B)=2=1 P(A)=P(AB,故事件A、B独立 注:从例1可见,判断事件的独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断但在实 际应用中,常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立 相互独立性的性质 例2已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球今从甲、乙两袋中各取出 一球,设A={从甲袋中取出的是偶数号球},B={从乙袋中取出的是奇数号球},C={从两 袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球},试证A,B,C两两独立但不相互独立 证明由题意知,P(A)=P(B)=P(C)=1/2.以,j分别表示从甲、乙两袋中取出球的号 数,则样本空间为S={(0,=1,2,34j=12,3,4} 由于S包含16个样本点,事件AB包含4个样本点(2,1,(2,3)、4,1)(4,3),而AC,BC都各 包含4个样本点所以P(AB)=P(AC)=P(BC)=4/16=1/4 于是有P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C,P(AB)=P(A)P(B),因此A,B,C两两独立 又因为ABC=所以P(ABO=0,而P(A)P(B)PC)=1/8,因P(ABO≠P(AP(B)PC 故A,B,C不是相互独立的 例3加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2% 3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率 解本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便 设A,A2,4,A4为四道工序发生次品事件,D为加工出来的零件为次品的事件,则D为 产品合格的事件,故有D=A1A2A434 P(D)=P(A)P(A2)P(A3)P(4)=(1-2%(1-3%(1-5%)1-3%)=8759779≈87609% P(D)=1-POD)=1-8760%=1240% 例4(E02)如图是一个串并联电路系统.A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的元件.它 们下方的数字是它们各自正常工作的概率.求电路系统的可靠性 解以W表示电路系统正常工作,因各元件独立工作,故有 P(W)=P(A)P(B)P(CUDUEP(FUGP(H) IH P(CUDUE=1-P(C)P(D)P(E)=0.973, P(FUG)=1-P(F)P(G)=0.9375 代入得P(W)≈0.782 例5(E03)甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为pP≥12.问对甲而言,采用 三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利,设各局胜负相互独立 解采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”P(AB) = P(A)P(B), 故事件 A、B 独立. 解二 利用条件概率判断. 由 , 13 1 P(A) = , 13 1 26 2 P(A| B) = = P(A) = P(A| B), 故事件 A、B 独立. 注：从例 1 可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实 际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 相互独立性的性质 例 2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为 1, 2, 3, 4 的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出 一球, 设 A = {从甲袋中取出的是偶数号球}, B = {从乙袋中取出的是奇数号球}, C = {从两 袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证 A, B,C 两两独立但不相互独立. 证明 由题意知, P(A) = P(B) = P(C) =1/ 2. 以 i, j 分别表示从甲、乙两袋中取出球的号 数， 则样本空间为 S ={(i, j)|=1,2,3,4; j =1,2,3,4}. 由于 S 包含 16 个样本点, 事件 AB 包含 4 个样本点: (2,1),(2,3),(4,1),(4,3), 而 AC,BC 都各 包含 4 个样本点,所以 P(AB) = P(AC) = P(BC) = 4/16 =1/ 4. 于是有 P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(AB) = P(A)P(B), 因此 A,B,C 两两独立. 又因为 ABC = , 所以 P(ABC) = 0, 而 P(A)P(B)P(C) =1/8, 因 P(ABC)  P(A)P(B)P(C), 故 A,B,C 不是相互独立的. 例 3 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、二、三、四道工序的次品率分别是 2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率. 解 本题应先计算合格品率, 这样可以使计算简便. 设 1 2 3 4 A , A , A , A 为四道工序发生次品事件, D 为加工出来的零件为次品的事件, 则 D 为 产品合格的事件, 故有 , D = A1A2A3A4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P D = P A1 P A2 P A3 P A4 = (1− 2%)(1− 3%)(1− 5%)(1− 3%) =87.59779% 87.60%; P(D) =1− P(D) =1− 87.60% =12.40%. 例 4 (E02) 如图是一个串并联电路系统. A,B,C, D,E, F,G, H 都是电路中的元件. 它 们下方的数字是它们各自正常工作的概率. 求电路系统的可靠性. 解 以 W 表示电路系统正常工作, 因各元件独立工作, 故有 P(W) = P(A)P(B)P(C  D  E)P(F G)P(H), 其中 P(C  D E) =1− P(C)P(D)P(E) = 0.973, P(F G) =1− P(F)P(G) = 0.9375. 代入得 P(W)  0.782. 例 5 (E03) 甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为 p, p≥1/2. 问对甲而言,采用 三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利, 设各局胜负相互独立. 解 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲