而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为n=p2+2p2(1-P) 采用五局三胜制,甲最终获胜至少需比赛3局可能赛3局,也可能赛4局或5局),且 最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局例如,共赛4局,则甲的胜局情况是“甲乙甲甲 甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容.由独立性得甲最终获胜的概率为 p2=p3+C3p(1-p)+Cp(1-p)2 于是P2-p1=P2(6p3-15p2+12p-3)=3p2(p-1)2(2p-1) 当p>1/2时,P2>B,即对甲来说采用五局三胜制较为有利;当p=1/2时,P2=p1=1/2 即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同 伯努利概型 例6某种小数移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率 解观察一棵小树是否成活是随机试验E,每棵小树只有“成活”(4)或“没成活”(A)两 种可能结果,且P(A)=0.9.可以认为,小树成活与否是彼此独立的,因此观察20棵小树是 否成活可以看成是P=0.9的20重伯努利试验 设所求概率为P(B,则由伯努利公式可得 PB)=C28×0.918×0.12=0.285 例7一条自动生产线上的产品,次品率为4%,求 (1)从中任取10件,求至少有两件次品的概率 (2)一次取1件,无放回地抽取,求当取到第二件次品时,之前已取到8件正品的概率 解(1)由于一条自动生产线上的产品很多,当抽取的件数相对较少时,可将无放回抽 取近似看成是有放回抽取,每抽1件产品看成是一次试验抽10件产品相当于做10次重复独 立试验,且每次试验只有“次品”或“正品”两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验 设A表示“任取1件是次品”则p=P(A)=004,q=P(A)=096 设B表示“10件中至少有两件次品”,由伯努利公式有 r2=21(1-10-0=109×0090 (2)由题意,至第二次抽到次品时,共抽取了10次,前9次中抽得8件正品1件次品设 表示“前9次中抽到8件正品1件次品”,D表示“第十次抽到次品”,则由独立性和伯努 利公式,所求的概率为 PCD)=P(C)P(D)=C1×004×0.96×0.04=00104 例8一个袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,每次从中随意取出一球,取后 放回而这三种结局互不相容, 于是由独立性得甲最终获胜的概率为 2 (1 ). 2 2 p1 = p + p − p 采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛 3 局(可能赛 3 局, 也可能赛 4 局或 5 局), 且 最后一局必需是甲胜, 而前面甲需胜二局. 例如, 共赛 4 局, 则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”, 且这三种结局互不相容. 由独立性得甲最终获胜的概率为 2 3 2 4 2 3 3 3 2 p = p +C p (1− p) +C p (1− p) 于是 (6 15 12 3) 2 3 2 p2 − p1 = p p − p + p − 3 ( 1) (2 1). 2 2 = p p − p − 当 p 1/ 2 时, , P2  P1 即对甲来说采用五局三胜制较为有利; 当 p =1/ 2 时, 1/ 2, p2 = p1 = 即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同. 伯努利概型 例 6 某种小数移栽后的成活率为 90%, 一居民小区移栽了 20 棵, 求能成活 18 的概率. 解 观察一棵小树是否成活是随机试验 E, 每棵小树只有“成活” (A) 或“没成活” (A) 两 种可能结果, 且 P(A) = 0.9. 可以认为, 小树成活与否是彼此独立的, 因此观察 20 棵小树是 否成活可以看成是 P = 0.9 的 20 重伯努利试验. 设所求概率为 P(B), 则由伯努利公式可得 ( ) 0.9 0.1 0.285. 18 18 2 P B = C20   = 例 7 一条自动生产线上的产品, 次品率为 4%, 求: (1) 从中任取 10 件, 求至少有两件次品的概率; (2) 一次取 1 件, 无放回地抽取, 求当取到第二件次品时, 之前已取到 8 件正品的概率. 解 (1) 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 可将无放回抽 取近似看成是有放回抽取, 每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独 立试验, 且每次试验只有 “次品” 或 “正品” 两种可能结果,所以可以看成 10 重伯努利试验. 设 A 表示 “任取 1 件是次品”, 则 p = P(A) = 0.04, q = P(A) = 0.96. 设 B 表示 “10 件中至少有两件次品”, 由伯努利公式有 ( ) ( ) 1 (0) (1) 10 10 10 2 P B P10 k P P k = = − − = 1 9 10 10 =1− 0.96 −C 0.040.96 = 0.0582. (2) 由题意, 至第二次抽到次品时, 共抽取了 10 次, 前 9 次中抽得 8 件正品 1 件次品. 设 C 表示 “前 9 次中抽到 8 件正品 1 件次品”, D 表示 “第十次抽到次品”, 则由独立性和伯努 利公式, 所求的概率为 ( ) ( ) ( ) 0.04 0.96 0.04 0.0104. 9 8 P CD = P C P D =C1    = 例 8 一个袋中装有 10 个球，其中 3 个黑球，7 个白球，每次从中随意取出一球，取后 放回