第4次讨论课 「内容 1.内积与标准正交基 2.正交变换; 「教学要求 掌握内积、欧氏空间等概念; 2.熟练运用 Schmidt正交化方法求标准正交基; 3.掌握子空间的正交补概念,会求某些空间的正交补; 4.掌握正交变换的概念,会用正交变换的等价条件和正交矩阵的某些性质 练习1设σ是Rn上的线性变换,Rη=W1⊕W2,试证 (1)σ是Rn到W1(或W2)的投影变换←→>a2=σ; (2)若σ是Rn到W1的投影变换,则ε-σ是R到W的投影; (3)若σ是R到阽1的投影变换,则W1=Imσ,W2=Kerσs 解答: (1)因为Rn=W1W2,所以Ⅵa∈Rn,有分解式 其中α;∈W;,i=1,2。由已知σ是Rη到W1的投影算子,所以σ(a)=a1。然后我 们再把α1做分解,因为它已经在Ⅵ1中了,所以分解式只能是 1=a1+0 这就证明了a2=a。 反过来,假设Rη上一个线性变换σ满足σ2=σ,我们来证明它是Rn到某个子 空间的投影算子。设W1=Imo,W2=Im(-a)。对于a∈Rn C=Ea=oa+(e-g)a第 4 次讨论课 ¶ 内容 1. 内积与标准正交基； 2. 正交变换； ¶ 教学要求 1. 掌握内积、欧氏空间等概念; 2. 熟练运用 Schmidt 正交化方法求标准正交基; 3. 掌握子空间的正交补概念，会求某些空间的正交补； 4. 掌握正交变换的概念，会用正交变换的等价条件和正交矩阵的某些性质. 练习 1 设 σ 是 R n 上的线性变换，R n = W1 ⊕ W2，试证 (1) σ 是 R n 到 W1 (或 W2 ) 的投影变换 ⇐⇒ σ 2 = σ； (2) 若 σ 是 R n 到 W1 的投影变换，则 ε − σ 是 R n 到 W2 的投影； (3) 若 σ 是 R n 到 W1 的投影变换，则 W1 = Im σ, W2 = Ker σ。 解答： (1) 因为 R n = W1 ⊕ W2，所以 ∀ α ∈ R n ，有分解式： α = α1 + α2 其中 αi ∈ Wi , i = 1, 2。由已知 σ 是 R n 到 W1 的投影算子，所以 σ(α) = α1。然后我 们再把 α1 做分解，因为它已经在 W1 中了，所以分解式只能是： α1 = α1 + 0 这就证明了 σ 2 = σ。 反过来，假设 R n 上一个线性变换 σ 满足 σ 2 = σ，我们来证明它是 R n 到某个子 空间的投影算子。设 W1 = Im σ, W2 = Im(ε − σ)。对于 ∀ α ∈ R n α = ε α = σ α + (ε − σ) α 1