所以Rn=W1+W2。下面来说明W1∩W2=O。假设有a∈W1∩W2,依W1,W2的 定义,应有a1,a2满足a=o(a1)=(e-o)(a2),于是: a=a(a1)=a2(a1)=o(-a)(a2)=(o-a2)(a2)=0 所以R=Ⅵ1⊕W2。这样σ就是R到W1的投影算子。 (2)设R到W2的投影算子是,对于Ⅴa∈Rn,有分解式 a=a(a)+r(a) →r(a)=a-o(a)=(E-0)(a) 所以T=E-σ (3)首先依投影算子的定义可知 Imac1。又因为σ限制在W1上时是W1上的恒 等映射,所以W1CImσ。所以Ima=W。 对于α∈Rη,如果它按Rn=1⊕Ⅳ2的方式做分解的分解式是 第一分量为零说明σ(α)=0,第二分量等于它自身说明a∈W2。也就是说σ(a)=0 当且仅当a∈W2,即W2=Kera。 练习2用 Schmidt正交化方法将欧氏空间的向量组S正交化,并扩充为欧氏空间的 标准正交基,求出指定向量α在标准正交基下的坐标, (1)R,S={(1,2,2,-1),(1,1,-5,3),(3,2,8,-7)2},a=(3,1,1,-3)2; (2)R3],内积定义为(f(x),g(x)=∫f(1)9(t)t,S={1,x,x2},a=1+x 解答: B1=a1=(1,2,2,-1 2=02-(31,1) A1=(2,3,-3,2)2, B3=a3 (1,月1)(A2,A2) 2=(2,-1,-1,-2) 为扩充成正交基,设=(x,y,z,U)2,解方程 0=(1,4)=x+2y+2z-t 0=(2,B4)=2x+3y-3z+2 0=(3,4)=2x-y-z-2所以 R n = W1 + W2。下面来说明 W1 ∩ W2 = O。假设有 α ∈ W1 ∩ W2，依 W1, W2 的 定义，应有 α1, α2 满足 α = σ(α1) = (ε − σ)(α2) ，于是： α = σ(α1) = σ 2 (α1) = σ(ε − σ)(α2) = (σ − σ 2 )(α2) = 0. 所以 R n = W1 ⊕ W2。这样 σ 就是 R n 到 W1 的投影算子。 (2) 设 R n 到 W2 的投影算子是 τ ，对于 ∀ α ∈ R n ，有分解式： α = σ(α) + τ (α) ⇒ τ (α) = α − σ(α) = (ε − σ)(α). 所以 τ = ε − σ。 (3) 首先依投影算子的定义可知 Im σ ⊂ W1。又因为 σ 限制在 W1 上时是 W1 上的恒 等映射，所以 W1 ⊂ Im σ 。所以 Im σ = W1。 对于 ∀ α ∈ R n，如果它按 R n = W1 ⊕ W2 的方式做分解的分解式是 α = 0 + α 第一分量为零说明 σ(α) = 0，第二分量等于它自身说明 α ∈ W2。也就是说 σ(α) = 0 当且仅当 α ∈ W2，即 W2 = Ker σ。 ¤ 练习 2 用 Schmidt 正交化方法将欧氏空间的向量组 S 正交化，并扩充为欧氏空间的 标准正交基，求出指定向量 α 在标准正交基下的坐标。 (1) R 4，S = {(1, 2, 2, −1)T ,(1, 1, −5, 3)T ,(3, 2, 8, −7)T }，α = (3, 1, 1, −3)T； (2) R3[x]，内积定义为 (f(x), g(x)) = R 1 −1 f(t) g(t) dt，S = {1, x, x2}，α = 1 + x。 解答： (1) β1 = α1 = (1, 2, 2, −1)T , β2 = α2 − (α2, β1) (β1, β1) β1 = (2, 3, −3, 2)T , β3 = α3 − (α3, β1) (β1, β1) β1 − (α3, β2) (β2, β2) β2 = (2, −1, −1, −2)T . 为扩充成正交基，设 β4 = (x, y, z, w) T，解方程 0 = (β1, β4) = x + 2 y + 2 z − w 0 = (β2, β4) = 2 x + 3 y − 3 z + 2 w 0 = (β3, β4) = 2 x − y − z − 2 w 2