得解:月4=(3,-2,2,3)2。最后,把β1,B2,B3,月1归一化得到标准正交基: 为了求α在标准正交基η,γ2,3,№4下的坐标,只需考虑分解: a=(a,m)1+(a,2)2+(a,3)3+(a,74)4=√10m+√103 所以结果是(√10,0,√10,0) B1 (x,1) (1,1) B3 B2 a=+/=√2n+y3,所以坐标为(√2,v3,0) 练习3设a1=(1,0,2,1)2,a2=(2,1,2,3),a3=(0,1,-2,1),W=L(a1,a2,a3) 在R4上定义内积为 V a, B 试求W在R4的正交补子空间W的一个基 解答 只需解方程: 1x+0y+2z+1=0 2x+1y+2z+3=0 0x+1y-2z+1u=0 得通解: 所以正交补子空间W的基可取为1=(-2,2,1,0),B2=(-1,-1,0,1)2 练习4设丌是3维几何空间的一个平面,A是丌上的一个固定点,B是任意一 点,AB的全体构成一个欧氏空间V。问W={AB|B∈丌}是不是V的一个子空 间?为什么?如果A取在平面丌外又如何呢?得解：β4 = (3, −2, 2, 3)T。最后，把 β1, β2, β3, β4 归一化得到标准正交基： γ1 = 1 √ 10 β1, γ2 = 1 √ 26 β2, γ3 = 1 √ 10 β3, γ4 = 1 √ 26 β4. 为了求 α 在标准正交基 γ1, γ2, γ3, γ4 下的坐标，只需考虑分解： α = (α, γ1)γ1 + (α, γ2)γ2 + (α, γ3)γ3 + (α, γ4)γ4 = √ 10 γ1 + √ 10 γ3. 所以结果是 ( √ 10, 0, √ 10, 0)。 (2) β1 = 1, β2 = x − (x, 1) (1, 1) 1 = x, β3 = x 2 − (x 2 , 1) (1, 1) 1 − (x 2 , x) (x, x) x = x 2 − 1 3 . 归一化： γ1 = r 1 2 β1, γ2 = r 3 2 β2, γ3 = r 45 8 β3. α = β1 + β2 = √ 2 γ1 + q 2 3 γ2，所以坐标为 ( √ 2, q 2 3 , 0)。 ¤ 练习 3 设 α1 = (1, 0, 2, 1)T , α2 = (2, 1, 2, 3)T , α3 = (0, 1, −2, 1)T , W = L(α1, α2, α3)， 在 R 4 上定义内积为： ∀ α, β ∈ R 4 , (α, β) = α T β. 试求 W 在 R 4 的正交补子空间 W⊥ 的一个基。 解答： 只需解方程： 1 x + 0 y + 2 z + 1 w = 0 2 x + 1 y + 2 z + 3 w = 0 0 x + 1 y − 2 z + 1 w = 0 得通解： x = −w − 2 z, y = −w + 2 z. 所以正交补子空间 W⊥ 的基可取为 β1 = (−2, 2, 1, 0)T , β2 = (−1, −1, 0, 1)T。 ¤ 练习 4 设 π 是 3 维几何空间的一个平面，A 是 π 上的一个固定点，B 是任意一 点， −→AB 的全体构成一个欧氏空间 V 。问 W = { −→AB | B ∈ π} 是不是 V 的一个子空 间？为什么？如果 A 取在平面 π 外又如何呢？ 3