·662· 智能系统学报 第13卷 麦比乌斯变换与麦比乌斯带》一书中，较为系统 [2]李仲来.模糊数学与优化一汪培庄文集（北京师范大学 地介绍了在代数几何、拓扑学的研究中发现的麦 数学家文库)M.北京：北京师范大学出版社，2013. 比乌斯带有趣的性质。麦比乌斯带的存在源自实 [3]汪培庄，李洪兴.知识表示的数学理论M.天津：天津科 数域R的乘法群R的不连通性，这一性质更深刻 学技术出版社，1994. 的等价描述如下： [4]汪培庄，李洪兴.模糊系统理论与模糊计算机M.北京」 科学出版社，1995. 设n维向量丛集GL(n,R)cGL(n+1,R),记GL= [5]李洪兴.因素空间理论与知识表示的数学框架(I) UnGL(n,R)。设A是希尔伯特空间H中的斜伴随 因素空间的公理化定义与描述架.北京师范大学学报 算子，即在通常的范数IA‖=supu=IAxl下，交错内 自然科学版.1996.34(4)：470-475. 积 LI Hongxing.Factor spaces and mathematical frame of (Ax.y)=-(x,Ay),Vx.yEH knowledge representation (I )axiomatic definition of 成立，等价于A在有限维零空间的正交补空间上 factor spaces and description frame[J].Journal of Beijing 可逆，记为所有H中斜伴随算子A的拓扑空 normal university:natural science,1996,34(4):470-475. 间。则GL同伦等价于% [6]袁学海，汪培庄.因素空间中的一些数学结构).模糊系 另外，格代数与麦比乌斯代数存在天然的联 统与数学，1993,7(1)：45-54. 系B74 YUAN Xuehai.WANG Peizhuang.Some mathematical 这表明，从纯数学的角度看，F$对偶回旋定 structures in factor spaces[J].Fuzzy systems and mathem- 理所描述的数学性质以不同的形式存在已久。但 atics..1993,7145-54. 是，本文再发现的过程却贯通了认知科学与数学 [7]袁学海，汪培庄.因素空间和范畴.模糊系统与数学 深刻的内在联系，巩固了FS理论作为人工智能 1995,92:25-33 研究的思想框架和认知科学研究的数学模型的地 YUAN Xuehai,WANG Peizhuang.Factor spaces and cat- 位。众多的文献给出了麦比鸟斯变换群在其他数 egories[J].Fuzzy systems and mathematics,1995,9(2): 25-33. 学分支，如数论、组合数学、微分几何、黎曼几 [8]赵宝江，张型岱，袁学海，等.集合套范畴的研究刀.模糊 何、罗巴切夫斯基几何、模与丛论中的应用，以及 系统与数学，2002,16(1)：29-35 在图像处理领域、通信科学、密码学、量子物理 ZHAO Baojiang,ZHANG Xingdai,YUAN Xuehai,et al. 学、遗传生物学、有机化学、乃至机械与工程领域 Study on the category of nested sets[J.Fuzzy systems and 中的应用，无不昭示着F$对偶回旋定理潜在的 mathematics,2002,16(1):29-35 理论与应用价值。 [9]刘增良，刘有才.因素神经网络理论及其应用M.北京 3)发展基于麦乌比斯环0的数据分析方法与 北京师范大学，1994. 算法。因素o和e是FS认知能力的两个极点，是不 [10]郭春霞，刘增良，陶源，等.虚拟网络攻防分析模型[ 动点。若用一个有一定带宽的信息通道来描述 计算机工程与应用，2008,44(25)：100-103 FS和对偶回旋定理所揭示的认知过程，非常有趣 GUO Chunxia,LIU Zengliang,TAO Yuan,et al.Virtual 的是，这一信息通道恰为一个麦乌比斯环0。记 internet offensive and defensive analysis model[J].Com- FS中任意一个状态点(n维向量)为p,则p的能量 puter engineering and applications,2008,44(25):100- 103 态可以借助量子计算理论的量子比特叠加态 [11]郭春霞，刘增良，张智南，等.网络攻击知识因素空间模 lo>=a.lo>+B.le> 表达，其中a和B分别是极点o和e对p的引力系数， 型[).电讯技术，2009,49(10少：11-14 满足a2+=1。这个发现，为在FS理论的数据挖 GUO Chunxia,LIU Zengliang,ZHANG Zhinan,et al. Network attack knowledge model based on factor space 掘与信息处理算法建构过程中嵌入量子计算技 theory[J].Telecommunication engineering,2009,49(10): 术，将状态关系的度量和分析提升为状态一能量 11-14. 关系的度量和分析提供了可靠的切人点1。 [12]郭春霞，刘增良，苗青.网络攻击规划模型及其生成算 参考文献： 法[J.计算机工程与应用，2010,46(31)：121-123 GUO Chunxia,LIU Zengliang,MIAO Qing.Network at- [1]汪培庄，SUGENO M.因素场与模糊集的背景结构[).模 tack planning model and its generating algorithm[J]. 糊数学，1982(2)45-54. Computer engineering and applications,2010,46(31): WANG Peizhuang,SUGENO M.The factors field and 121-123. background structure for fuzzy set[J].Fuzzy math, [13]张友春，魏强，刘增良，等.信息系统漏洞挖掘技术体系 1982(2):45-54. 研究[).通信学报，2011,32(2)42-47.麦比乌斯变换与麦比乌斯带》一书中，较为系统 地介绍了在代数几何、拓扑学的研究中发现的麦 比乌斯带有趣的性质。麦比乌斯带的存在源自实 数域 R 的乘法群 R *的不连通性，这一性质更深刻 的等价描述如下[37] ： n GL(n,R) ⊂ GL(n+1,R) GL∞ = ∪nGL(n,R) ∥A∥ = sup|x|=1 |Ax| 设 维向量丛集 ，记 。设 A 是希尔伯特空间 H 中的斜伴随 算子，即在通常的范数 下，交错内 积 ⟨Ax, y⟩ = −⟨x, Ay⟩,∀x, y ∈ H A H A GL∞ 成立，等价于 在有限维零空间的正交补空间上 可逆，记 A 为所有 中斜伴随算子 的拓扑空 间。则 同伦等价于 A。 另外，格代数与麦比乌斯代数存在天然的联 系 [37-40]。 这表明，从纯数学的角度看，FS 对偶回旋定 理所描述的数学性质以不同的形式存在已久。但 是，本文再发现的过程却贯通了认知科学与数学 深刻的内在联系，巩固了 FS 理论作为人工智能 研究的思想框架和认知科学研究的数学模型的地 位。众多的文献给出了麦比乌斯变换群在其他数 学分支，如数论、组合数学、微分几何、黎曼几 何、罗巴切夫斯基几何、模与丛论中的应用，以及 在图像处理领域、通信科学、密码学、量子物理 学、遗传生物学、有机化学、乃至机械与工程领域 中的应用，无不昭示着 FS 对偶回旋定理潜在的 理论与应用价值。 o e φ φ 3) 发展基于麦乌比斯环 0 的数据分析方法与 算法。因素 和 是 FS 认知能力的两个极点，是不 动点。若用一个有一定带宽的信息通道来描述 FS 和对偶回旋定理所揭示的认知过程，非常有趣 的是，这一信息通道恰为一个麦乌比斯环 0。记 FS 中任意一个状态点 (n 维向量) 为 ，则 的能量 态可以借助量子计算理论的量子比特叠加态 |φ >= α· |o > +β · |e > α β o e φ α 2 +β 2 = 1 表达，其中 和 分别是极点 和 对 的引力系数， 满足 。这个发现，为在 FS 理论的数据挖 掘与信息处理算法建构过程中嵌入量子计算技 术，将状态关系的度量和分析提升为状态—能量 关系的度量和分析提供了可靠的切入点[41-42]。 参考文献： 汪培庄, SUGENO M. 因素场与模糊集的背景结构[J]. 模 糊数学, 1982(2): 45–54. WANG Peizhuang, SUGENO M. The factors field and background structure for fuzzy set[J]. Fuzzy math, 1982(2): 45–54. [1] 李仲来. 模糊数学与优化—汪培庄文集 (北京师范大学 数学家文库)[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 2013. [2] 汪培庄, 李洪兴. 知识表示的数学理论[M]. 天津: 天津科 学技术出版社, 1994. [3] 汪培庄, 李洪兴. 模糊系统理论与模糊计算机[M]. 北京: 科学出版社, 1995. [4] 李洪兴. 因素空间理论与知识表示的数学框架 (Ⅰ)—— 因素空间的公理化定义与描述架[J]. 北京师范大学学报: 自然科学版, 1996, 34(4): 470–475. LI Hongxing. Factor spaces and mathematical frame of knowledge representation (Ⅰ)——axiomatic definition of factor spaces and description frame[J]. Journal of Beijing normal university: natural science, 1996, 34(4): 470–475. [5] 袁学海, 汪培庄. 因素空间中的一些数学结构[J]. 模糊系 统与数学, 1993, 7(1): 45–54. YUAN Xuehai, WANG Peizhuang. Some mathematical structures in factor spaces[J]. Fuzzy systems and mathem￾atics, 1993, 7(1): 45–54. [6] 袁学海, 汪培庄. 因素空间和范畴[J]. 模糊系统与数学, 1995, 9(2): 25–33. YUAN Xuehai, WANG Peizhuang. Factor spaces and cat￾egories[J]. Fuzzy systems and mathematics, 1995, 9(2): 25–33. [7] 赵宝江, 张型岱, 袁学海, 等. 集合套范畴的研究[J]. 模糊 系统与数学, 2002, 16(1): 29–35. ZHAO Baojiang, ZHANG Xingdai, YUAN Xuehai, et al. Study on the category of nested sets[J]. Fuzzy systems and mathematics, 2002, 16(1): 29–35. [8] 刘增良, 刘有才. 因素神经网络理论及其应用[M]. 北京: 北京师范大学, 1994. [9] 郭春霞, 刘增良, 陶源, 等. 虚拟网络攻防分析模型[J]. 计算机工程与应用, 2008, 44(25): 100–103. GUO Chunxia, LIU Zengliang, TAO Yuan, et al. Virtual internet offensive and defensive analysis model[J]. Com￾puter engineering and applications, 2008, 44(25): 100– 103. [10] 郭春霞, 刘增良, 张智南, 等. 网络攻击知识因素空间模 型[J]. 电讯技术, 2009, 49(10): 11–14. GUO Chunxia, LIU Zengliang, ZHANG Zhinan, et al. Network attack knowledge model based on factor space theory[J]. Telecommunication engineering, 2009, 49(10): 11–14. [11] 郭春霞, 刘增良, 苗青. 网络攻击规划模型及其生成算 法[J]. 计算机工程与应用, 2010, 46(31): 121–123. GUO Chunxia, LIU Zengliang, MIAO Qing. Network at￾tack planning model and its generating algorithm[J]. Computer engineering and applications, 2010, 46(31): 121–123. 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