第4期 包研科，等：因素空间的结构与对偶回旋定理 ·661· 综上所述，得到下面的定理1。 数学抽象。 定理1（对偶回旋定理）(CFF,V,A,)是一个回 旋布尔格。 3结论与展望 因素是认知工具，FS是认知科学的数学模 本文工作对文献[34]的核心概念进行梳理， 型。有别于Boole代数，FS的本质在于其回旋 简化了公理性约定，凝练并重述核心命题，承接 性，反映了概念形成过程中分化与同化的双向统 前期工作的理论与思想。着眼因素空间的理论与 一性，具体地讲： 方法在信息科学领域的应用，重述因素空间的定 1)FS的回旋性反映概念内涵与外延的对合 义，提出了自为因素、可基因素族、完备因素空间 性。在论域上，最小元形成完全概括性认知，最 和正则因素空间的概念，初步地、明确勾勒出因 大元e形成彻底的个性化认知。因此，在对论域形 素空间与信息系统之间的关系。 成的终极认知即“论域中的每一个对象都是不同 本文对FS理论的贡献在于交错自同构变换， 的个体，同时所有对象又是一个整体”的意义上， 回旋格和对偶回旋定理，突破了经典论述关于 因素o和e是等效的。在解析过程中，零因素o是析 FS结构的认知，为认知科学讨论若干基本概念之 运算的单位元，也是合运算的零元。反过来，在 间关系和思维运动的问题给出了可借鉴数学模 概括过程中，全因素e是析运算的零元，也是合运 型，为FS理论在人工智能领域的研究与应用提 算的单位元。当终极认知形成之时，必有o=e。 供了新的切入点。 2)F$的回旋性反映概念内涵与外延的反变 据此，本文对F$理论与应用研究的展望如下： 关系。这种反变关系在实际的认知过程中，往往 1)进一步构建FS理论“四位一体”的思想框 表现为概念的分化与同化的纠缠，对于理解一个 架。在本文的讨论中，一个中心思想就是“人工智 事物而言，究竞是概念分化多一些好，还是同化 能是人类认知模式的数学重构”，在这个过程中， 多一些好？概念的分化与同化的纠缠，反映概念 关于人工智能的数学思想、原理与算法必须同人 形成过程中因素的解析力和概括力交互作用的过 的认知模式高度契合，理论研究的思想框架必须 程。从论域为一个整体的角度，解析导致“论域划 同人类问题解决过程中的思维场高度契合，并同 分”，破坏整体性；从论域中对象的个体性出发， 机器实现的技术特征高度契合。这一思想暗涵于 概括是在论域划分的基础上重构整体性。同理， 本文之中，可以想象在以U,FS,BF,F(U)为顶点的 从“属性限定”揭示一类事物共同特征的角度讲是 四面体中，底面△FS,BF,F(U)表示因素分析理 概括；而从概念的结构、即“属性限定”为概念分 论，侧面△(U,BF,牙(U))表示商空间理论，侧面 化技术的角度讲是解析。在认知过程中，概括与 △(U,FS,于(U)表示张量分析理论，侧面△(U,FS,BF) 解析各具所长，往往交互作用，殊途同归。由因 表示数据分析理论，每个棱表示两个顶点之间的 素认知一个概念不外乎借助因素的解析力和概括 双向信息通道。这个四面体构成完整的FS理论 力，辨识概念的内涵（属性限定），界定概念的外 的思想框架。 延（论域划分），并使两种过程形成同一认知。 在这个思想框架中，论域U是问题空间，是研 在FS中，因素运算的认知性质由解析力主 究主题之源；因素空间F$是关于问题或主题的 导，准确地揭示了概念的内涵与外延的反变关 要素与要素关系的数学系统，是数据分析理论的 系。但是，概括力的隐化导致因素操作的代数性 上位体系，为信息系统(U,BF)理论提供可靠的数 质同经典Boole代数理论中的部分运算性质形式 学原理支撑；从张量代数同认知科学结合的观点 不同。这种情况恰是FS的价值所在。由因素描 看，论域的离散拓扑牙(U)与因素空间FS应当同 述的认知过程中，概括和解析不是两种截然分开 构。在本文的概念体系中，一个信息系统(U,BF) 的过程，仅仅是间或性的哪个表现更强势一些， 等价于因素空间中的可基因素族BF,因此商空间 解析能力的提升（降低）导致概括能力的降低（提 U/BF就是在FS与F(U)同构关系下的知识库，而 升)，总合觉察力不变。 得到这一知识库的技术路径依赖于数据分析理论 因此，由解析力主导的有界偏序格(C℉F,≤)同 和(UBF)及其数据库上的KDD技术。 概括力主导的有界偏序格(C℉F,≤)，在因素空间 2)发展基于FS对偶回旋定理的因素分析技 (C℉F,V,A,)中不是“双面结构”。对偶回旋定理是 术体系。本文发现的FS对偶回旋定理，明确了 对概念形成过程中，由内涵与外延的对合性和反 因素空间中信息的运动过程存在麦比乌斯环特 变关系引导的信息表达、加工和信息运动过程的 征。佩捷、王兰新在《从麦比乌斯到陈省身一一综上所述，得到下面的定理 1。 (CFF,∨,∧, ′ 定理 1(对偶回旋定理) ) 是一个回 旋布尔格。 因素是认知工具，FS 是认知科学的数学模 型。有别于 Boole 代数，FS 的本质在于其回旋 性，反映了概念形成过程中分化与同化的双向统 一性，具体地讲： o e o e o e o = e 1) FS 的回旋性反映概念内涵与外延的对合 性。在论域上，最小元 形成完全概括性认知，最 大元 形成彻底的个性化认知。因此，在对论域形 成的终极认知即“论域中的每一个对象都是不同 的个体，同时所有对象又是一个整体”的意义上， 因素 和 是等效的。在解析过程中，零因素 是析 运算的单位元，也是合运算的零元。反过来，在 概括过程中，全因素 是析运算的零元，也是合运 算的单位元。当终极认知形成之时，必有 。 2) FS 的回旋性反映概念内涵与外延的反变 关系。这种反变关系在实际的认知过程中，往往 表现为概念的分化与同化的纠缠，对于理解一个 事物而言，究竟是概念分化多一些好，还是同化 多一些好？概念的分化与同化的纠缠，反映概念 形成过程中因素的解析力和概括力交互作用的过 程。从论域为一个整体的角度，解析导致“论域划 分”，破坏整体性；从论域中对象的个体性出发， 概括是在论域划分的基础上重构整体性。同理， 从“属性限定”揭示一类事物共同特征的角度讲是 概括；而从概念的结构、即“属性限定”为概念分 化技术的角度讲是解析。在认知过程中，概括与 解析各具所长，往往交互作用，殊途同归。由因 素认知一个概念不外乎借助因素的解析力和概括 力，辨识概念的内涵 (属性限定)，界定概念的外 延 (论域划分)，并使两种过程形成同一认知。 在 FS 中，因素运算的认知性质由解析力主 导，准确地揭示了概念的内涵与外延的反变关 系。但是，概括力的隐化导致因素操作的代数性 质同经典 Boole 代数理论中的部分运算性质形式 不同。这种情况恰是 FS 的价值所在。由因素描 述的认知过程中，概括和解析不是两种截然分开 的过程，仅仅是间或性的哪个表现更强势一些， 解析能力的提升 (降低) 导致概括能力的降低 (提 升)，总合觉察力不变。 (CFF,⩽) (CFF,≼) (CFF,∨,∧, ′ ) 因此，由解析力主导的有界偏序格 同 概括力主导的有界偏序格 ，在因素空间 中不是“双面结构”。对偶回旋定理是 对概念形成过程中，由内涵与外延的对合性和反 变关系引导的信息表达、加工和信息运动过程的 数学抽象。 3 结论与展望 本文工作对文献[34]的核心概念进行梳理， 简化了公理性约定，凝练并重述核心命题，承接 前期工作的理论与思想。着眼因素空间的理论与 方法在信息科学领域的应用，重述因素空间的定 义，提出了自为因素、可基因素族、完备因素空间 和正则因素空间的概念，初步地、明确勾勒出因 素空间与信息系统之间的关系。 本文对 FS 理论的贡献在于交错自同构变换、 回旋格和对偶回旋定理，突破了经典论述关于 FS 结构的认知，为认知科学讨论若干基本概念之 间关系和思维运动的问题给出了可借鉴数学模 型，为 FS 理论在人工智能领域的研究与应用提 供了新的切入点。 据此，本文对 FS 理论与应用研究的展望如下： U,FS,BF,F ∆(FS,BF,F ∆(U,BF,F ∆(U,FS,F ∆(U,FS,BF) 1) 进一步构建 FS 理论“四位一体”的思想框 架。在本文的讨论中，一个中心思想就是“人工智 能是人类认知模式的数学重构”，在这个过程中， 关于人工智能的数学思想、原理与算法必须同人 的认知模式高度契合，理论研究的思想框架必须 同人类问题解决过程中的思维场高度契合，并同 机器实现的技术特征高度契合。这一思想暗涵于 本文之中，可以想象在以 (U) 为顶点的 四面体中，底面 (U)) 表示因素分析理 论，侧面 (U)) 表示商空间理论，侧面 (U)) 表示张量分析理论，侧面 表示数据分析理论，每个棱表示两个顶点之间的 双向信息通道。这个四面体构成完整的 FS 理论 的思想框架。 U (U,BF) F (U,BF) U/BF F (U,BF) 在这个思想框架中，论域 是问题空间，是研 究主题之源；因素空间 FS 是关于问题或主题的 要素与要素关系的数学系统，是数据分析理论的 上位体系，为信息系统 理论提供可靠的数 学原理支撑；从张量代数同认知科学结合的观点 看，论域的离散拓扑 (U) 与因素空间 FS 应当同 构。在本文的概念体系中，一个信息系统 等价于因素空间中的可基因素族 BF，因此商空间 就是在 FS 与 (U) 同构关系下的知识库，而 得到这一知识库的技术路径依赖于数据分析理论 和 及其数据库上的 KDD 技术。 2) 发展基于 FS 对偶回旋定理的因素分析技 术体系。本文发现的 FS 对偶回旋定理，明确了 因素空间中信息的运动过程存在麦比乌斯环特 征。佩捷、王兰新在《从麦比乌斯到陈省身—— 第 4 期 包研科，等：因素空间的结构与对偶回旋定理 ·661·