·660· 智能系统学报 第13卷 式中k=1,2,…,n。于是，格中的偏序关系为 素解析能力的大小主导因素的序关系，偏序格 0≤…≤{Ax}w≤…≤{x四≤…≤{Vx}W≤…≤1… (CFF,≤)受顺序公理、对合定理、反变关系定理和 (1) 排序定理的影响，同数学上经典的偏序格不尽相 在每一个层的格点集合中取一个元素，由关 同。因此，在代数格(CFF,V,A)中，虽然形式运算 系≤构成一个序链。 性质同数学经典的代数格描述一致，但内在运算 若将式(1)理解为一条定宽的纸带，从左到右 机理有所不同。 摹写式(1)中的格层与偏序关系，最左端为0，最 在布尔格(CFF,V,A,)中，结构与体系的核心 右端为1。 在于因素大小的定义和顺序公理的约定。下面引 根据交错自同构变换的3个条件，将τ的像摹 进(CFF,V,A,)上的交错自同构变换： 写在纸带(1)的反面，得到一种同≤等价（认知等 1)将因素大小的定义 效)的偏序关系≤，即纸带(1)的反面为 1≤…≤{Vx}w≤…≤{x≤…≤{Λx}W≤…≤0… f≤g台80y)Sfx) (2) 变异为 记为 g≤f台80y∈fx) (L,≤，T)=(L,) 2)将顺序公理 显然，两个偏序格(L,≤)和(L,≤)的代数格同一， o≤f≤e 均为(L,V,A)。 变异为 在格(L,V,Λ)上，由于式(1)左端的0和式 e≤f≤o (2)右端的0同一，式(1)右端的1和式(2)左端的 式中o和e的意义不变。 1同一，所以这一纸带是对合的，但是需要扭转纸 由变异式(1)可知，因素之间的关系≤和≤有 带粘合两端，粘合后一面显示0，另一面显示1。 相同的背景关系；由变异式(2)可知，≤和≤的认知 于是，L上的两种偏序关系≤和≤融合为一体，即在 意义不同，≤代表了认知的解析过程，≤代表了认 泛界点0或1处，偏序关系≤和<均“不失意”的无 知的概括过程。因此，≤和≤背景关系的一致和认 障碍连通。 知意义的不同，反映的是概念的对合性和概念分 综上所述，一个存在交错自同构变换的偏序 化、同化过程的技术差异。 格（亿，≤），其代数格(L,V,八)的几何构型是一个麦乌 3)代数运算V,A的定义不变 比斯环(mobius strip)o 在上述3个约定下，需要系统的修改、重述 定义8设≤和≤是非空集合L上的两个不同 13节涉及序关系的命题，其他命题形式不变。修 的偏序关系，若(L,≤)是有界偏序格(L,≤)上交错自 改后的相关命题如下： 同构变换的像，则称(L,≤)的代数格(L,V,A)为回旋 格(convolution lattice),其几何构型如图l。 命题2'（外延限制定理）f≤g台f≤8。 认知本体论的解释：命题2'由命题2描述概 念内涵与外延的反变关系转变为描述对外延的 限制。 命题7'（第一吸收律）fAg≤f,fΛg≤g;f≤ gVf,g≤gVf。 命题8'（第二吸收律）若g≤f,则fΛg=g, 图1回旋格的几何构型 fvg=f。反之亦真。 Fig.1 The geometry of convolution lattice 认知本体论的解释：命题7'和命题8修改了 显然，回旋格的定义当L为可列集时仍是适用 序关系与代数运算的联系规则，将因素固有的概 的。引进回旋格的概念，旨在揭示因素空间深 括功能从“隐性”表达转变为“显性”表达。 刻、丰富而有趣的性质。 命题10'（排序定理）e≤fAg≤f,g≤fVg≤o。 2.2对偶回旋定理 从命题10到命题10'实现了(CFF,V,A)从偏序 关于CFS的代数结构，文献[34]已经证明： 关系≤到偏序关系的交错自同构变换。 (CFF,≤)是一个偏序格。(CFF,V,A)是一个有界代 基于偏序关系≤的背景关系，容易证明命题 数格，满足分配律。(CFF,V,A,)是一个布尔格。 2’、命题7’、命题8和命题10'，限于篇幅，不再 上述结论的建立，数学原理基于认知原理，遵 赘述证明过程。在偏序关系≤约定的结构体系 循概念内涵与外延的对合性与反变关系原理，因 上，(CF,V,,)仍是一个布尔格。式中 k = 1,2,··· ,n。于是，格中的偏序关系为 0 ⩽ ··· ⩽ {∧xj} (k) ⩽ ··· ⩽ {xj} (1) ⩽ ··· ⩽ {∨xj} (k) ⩽ ··· ⩽ 1··· (1) ⩽ 在每一个层的格点集合中取一个元素，由关 系 构成一个序链。 若将式 (1) 理解为一条定宽的纸带，从左到右 摹写式 (1) 中的格层与偏序关系，最左端为 0，最 右端为 1。 τ ⩽ ≼ 根据交错自同构变换的 3 个条件，将 的像摹 写在纸带 (1) 的反面，得到一种同 等价 (认知等 效) 的偏序关系 ，即纸带 (1) 的反面为 1 ≼ ··· ≼ {∨xj} (k) ≼ ··· ≼ {xj} (1) ≼ ··· ≼ {∧xj} (k) ≼ ··· ≼ 0··· (2) 记为 (L,⩽,τ) = (L,≼) (L,⩽) (L,≼) (L,∨,∧) 显然，两个偏序格 和 的代数格同一， 均为 。 (L,∨,∧) ⩽ ≼ ⩽ ≼ 在 格 上，由于 式 ( 1 ) 左 端 的 0 和 式 (2) 右端的 0 同一，式 (1) 右端的 1 和式 (2) 左端的 1 同一，所以这一纸带是对合的，但是需要扭转纸 带粘合两端，粘合后一面显示 0，另一面显示 1。 于是，L 上的两种偏序关系 和 融合为一体，即在 泛界点 0 或 1 处，偏序关系 和 均“不失意”的无 障碍连通。 (L,⩽) (L,∨,∧) 综上所述，一个存在交错自同构变换的偏序 格 ，其代数格 的几何构型是一个麦乌 比斯环 (mobius strip)。 ⩽ ≼ L (L,≼) (L,⩽) (L,⩽) (L,∨,∧) 定义 8 设 和 是非空集合 上的两个不同 的偏序关系，若 是有界偏序格 上交错自 同构变换的像，则称 的代数格 为回旋 格 (convolution lattice)，其几何构型如图 1。 显然，回旋格的定义当 L 为可列集时仍是适用 的。引进回旋格的概念，旨在揭示因素空间深 刻、丰富而有趣的性质。 2.2 对偶回旋定理 (CFF,⩽) (CFF,∨,∧) (CFF,∨,∧, ′ ) 关于 CFS 的代数结构，文献[34]已经证明： 是一个偏序格。 是一个有界代 数格，满足分配律。 是一个布尔格。 上述结论的建立，数学原理基于认知原理，遵 循概念内涵与外延的对合性与反变关系原理，因 (CFF,⩽) (CFF,∨,∧) 素解析能力的大小主导因素的序关系，偏序格 受顺序公理、对合定理、反变关系定理和 排序定理的影响，同数学上经典的偏序格不尽相 同。因此，在代数格 中，虽然形式运算 性质同数学经典的代数格描述一致，但内在运算 机理有所不同。 (CFF,∨,∧, ′ ) (CFF,∨,∧, ′ ) 在布尔格 中，结构与体系的核心 在于因素大小的定义和顺序公理的约定。下面引 进 上的交错自同构变换: 1) 将因素大小的定义 f ⩽ g ⇔ ↼ g(y) ⊆ ↼ f(x) 变异为 g ≼ f ⇔ ↼ g(y) ⊆ ↼ f(x) 2) 将顺序公理 o ⩽ f ⩽ e 变异为 e ≼ f ≼ o 式中o和e的意义不变。 ⩽ ≼ ⩽ ≼ ⩽ ≼ ⩽ ≼ 由变异式 (1) 可知，因素之间的关系 和 有 相同的背景关系；由变异式 (2) 可知， 和 的认知 意义不同， 代表了认知的解析过程， 代表了认 知的概括过程。因此， 和 背景关系的一致和认 知意义的不同，反映的是概念的对合性和概念分 化、同化过程的技术差异。 3) 代数运算 ∨,∧ 的定义不变 在上述 3 个约定下，需要系统的修改、重述 1.3 节涉及序关系的命题，其他命题形式不变。修 改后的相关命题如下： f ≼ g ⇔ ↼ f ≼ ↼ 命题 2’(外延限制定理) g。 认知本体论的解释：命题 2’由命题 2 描述概 念内涵与外延的反变关系转变为描述对外延的 限制。 f ∧g ≼ f, f ∧g ≼ g f ≼ g∨ f,g ≼ g∨ f 命题 7’(第一吸收律) ； 。 g ≼ f f ∧g = g f ∨g = f 命题 8 ’(第二吸收律) 若 ，则 ， 。反之亦真。 认知本体论的解释：命题 7’和命题 8’修改了 序关系与代数运算的联系规则，将因素固有的概 括功能从“隐性”表达转变为“显性”表达。 命题 10’(排序定理) e ≼ f ∧g ≼ f,g ≼ f ∨g ≼ o。 (CFF,∨,∧) ⩽ ≼ 从命题 10 到命题 10’实现了 从偏序 关系 到偏序关系 的交错自同构变换。 ≼ ≼ (CFF,∨,∧, ′ ) 基于偏序关系 的背景关系，容易证明命题 2’、命题 7’、命题 8’和命题 10’，限于篇幅，不再 赘述证明过程。在偏序关系 约定的结构体系 上， 仍是一个布尔格。 图 1 回旋格的几何构型 Fig. 1 The geometry of convolution lattice ·660· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷