第4期 包研科，等：因素空间的结构与对偶回旋定理 ·659· 1.4因素空间 本空间S理解为论域，而σ-代数F等价于F(S), 在一个论域U上，可以定义多个因素f, 相应概念的对应关系可作如下约定： 称为U上一个因素族，并作为一个代数系统进行讨 1)X=o表示对X的观测缺失。 论，是借助因素分析实现论域上知识发现的基础。 2)X=e表示对X的观测不能发现随机性波动 定义1设F表示定义在论域U上的所有因素 (取常数值)。 的集合，则称代数系统(E,V,A,)是论域U上一个 3)XVY表示对(X,Y)的联合概率分布F(x,y)的 因素空间，记为FS。 观测。 定义中3种代数运算V,A,的概念和性质承接 4)XAY表示(X,)对条件分布乘积F(y) 1.2和1.3节的讨论。 FrOx)的观测。 由零因素的定义，显然o∈F。由论域的可列 5)表示对1-Fx(x)的观测。 性和全因素的定义，1.=U,至少U中对象的“编 在一个论域U上的知识发现问题，通常存在 号”是一个定义在U上的全因素，即存在e∈F。 各种不同的主题T,i=1,2,…,N,每一个主题下所 定义2设f和g是论域U上两个因素，若 有可能结果的集合就是这一主题的样本空间S: U/f+U/g,则称f和g是自为因素。 相应的存在一个正则因素空间C℉S,则论域U上 定义3设以，是论域U上一个平凡因素族， 的因素空间 i≠j=1,2,…,N,f和f是自为因素，则称{f是 FS=CFS1XCFS2X·x CFS 可基因素族，记为BF。 相应的，信息系统 定义4设BF是因素空间(E,V,A,)上的一个 (U,BF)=(U,BF XBF2X...XBFN) 有限可基因素族，则称各个因素相空间的笛卡 CFS的概念有助于FS分析方法与技术体系 尔积 的建构，有助于理解因素空间同概率空间、希尔 I1XI2X…XI 伯特空间和张量空间的关系。 为定义在论域0上的一个信息系统，不妨记为 前述讨论是对因素空间宏观结构的一种公理 (U,BF。 化诠释，其意义在于为信息系统分析提供了一个 定义5设BF为因素空间(F,V,A,)中的可列 统一的语境场。 可基因素族，若 2因素空间的结构 m会1f=o且imA%f=e f∈BF,则称BF为论域U上的一个完备因素族， 21交错自同构变换与回旋格 记为CFF。 通常认为，格是认知描述与形式概念分析理 称(CFF,V,A,)为完备因素空间，简称因素空 想的代数系统B。 间，仍记为FS。 本文引进格上的交错自同构变换和回旋格的 称(U,CFF)是一个完备信息系统，记为CIS。 概念，然后给出FS对偶回旋定理，构成对FS代 在不引起误会的场合，不必刻意区分FS和 数结构的新认知。 CIS的不同，即一个因素空间既是一个完备信息 定义7设≤为非空集合L上的偏序关系， 系统。 (L,≤)为有界偏序格，其中，x,y∈L,xVy=sup{x,y以， 显然，当论域U为有限集时，存在自然数 xAy=inf{x,y以，泛下界为0，泛上界为1。 N<o,使V%1f=o且A2f=e。 若L上存在变换x,满足条件： 定义6设(S,F,P)是一个概率空间，H是定 1)x∈L,x≠0,1，t(x)=xo 义在样本空间S上的所有二阶矩随机变量的集 2)Hx,y∈L,t(xVy)=x∧y,t(xAy)=xVyo 合，H={XEX)<∞，则称(H,V,A,)为正则因素 3)x(0)=1,x(1)=0。 空间，记为CFS。 则称r为(L,s)上的交错自同构变换(staggered 引进CFS的目的是方便描述结构化数据分析 automorphism transform). 问题。文献[34]中讨论了因素概念的外延，随机 下面诠释格上交错自同构变换的几何意义。 变量是基本的数量化因素。若有限个二阶矩随机 不妨设L={x,x≠0,1，在(L,≤)中，格点是分 变量X,j=1,2…,N各自有不同的概率分布，则 层的。按组合计数C,k=1,2,·,n,同层的格点集 X,=BF,于是(S,{X以)就是一个结构化信息系 合记为 统。CFS在结构化数据分析的应用中，只需将样 =L.x=.(Vx=(v1.4 因素空间 U {fj} N j=1 U 在一个论域 上，可以定义多个因素 ， 称为 上一个因素族，并作为一个代数系统进行讨 论，是借助因素分析实现论域上知识发现的基础。 F U (F,∨,∧, ′ ) 定义 1 设 表示定义在论域 上的所有因素 的集合，则称代数系统 是论域 U 上一个 因素空间，记为 FS。 ∨,∧, 定义中 ′ 3 种代数运算 的概念和性质承接 1.2 和 1.3 节的讨论。 o ∈ F Ie ≓ U U U e ∈ F 由零因素的定义，显然 。由论域的可列 性和全因素的定义， ，至少 中对象的“编 号”是一个定义在 上的全因素，即存在 。 f g U U/ f , U/g f g 定 义 2 设 和 是论域 上两个因素，若 ，则称 和 是自为因素。 {fj} N j=1 U ∀i , j = 1,2,··· ,N fi fj {fj} N j=1 定义 3 设 是论域 上一个平凡因素族， ， 和 是自为因素，则称 是 可基因素族，记为 BF。 (F,∨,∧, ′ 定义 4 设 BF 是因素空间 ) 上的一个 有限可基因素族，则称各个因素相空间的笛卡 尔积 I1 × I2 × ··· × IN U (U,BF) 为定义在论域 上的一个信息系统，不妨记为 。 (F,∨,∧, ′ 定义 5 设 BF 为因素空间 ) 中的可列 可基因素族，若 lim N→∞ V N j=1 fj = o且 lim N→∞ Λ N j=1 fj = e fj ∈ BF U CFF ，则称 BF 为论域 上的一个完备因素族， 记为 。 (CFF,∨,∧, ′ 称 ) 为完备因素空间，简称因素空 间，仍记为 FS。 称 (U,CFF) 是一个完备信息系统，记为 CIS。 在不引起误会的场合，不必刻意区分 FS 和 CIS 的不同，即一个因素空间既是一个完备信息 系统。 U N < ∞ V N j=1 fj = o Λ N j=1 fj = e 显然，当论域 为有限集时，存在自然数 ，使 且 。 F S H = {X|E(|X| 2 ) < ∞} (H,∨,∧, ′ ) 定义 6 设 (S, ,P) 是一个概率空间，H 是定 义在样本空间 上的所有二阶矩随机变量的集 合 ， ，则称 为正则因素 空间，记为 CFS。 Xj , j = 1,2,··· ,N {Xj} N j=1 = (S,{Xj} N j=1 ) 引进 CFS 的目的是方便描述结构化数据分析 问题。文献[34]中讨论了因素概念的外延，随机 变量是基本的数量化因素。若有限个二阶矩随机 变量 各自有不同的概率分布，则 BF，于是 就是一个结构化信息系 统。CFS 在结构化数据分析的应用中，只需将样 本空间 S 理解为论域，而σ−代数 F 等价于 F (S)， 相应概念的对应关系可作如下约定： 1) X = o表示对 X 的观测缺失。 2) X = e表示对 X 的观测不能发现随机性 波动 (取常数值)。 3) X ∨Y 表示对 (X,Y) 的联合概率分布 F(x, y) 的 观测。 X ∧Y (X,Y) FX|Y (x|y)· FY|X(y|x) 4 ) 表 示 对条件分布乘积 的观测。 5) X¯表示对 1− FX(x) 的观测。 U Ti ,i = 1,2,··· ,N S i CFSi U 在一个论域 上的知识发现问题，通常存在 各种不同的主题 ，每一个主题下所 有可能结果的集合就是这一主题的样本空间 ， 相应的存在一个正则因素空间 ，则论域 上 的因素空间 FS = CFS1 ×CFS2 × ··· ×CFSN 相应的，信息系统 (U,BF) = (U,BF1 ×BF2 × ··· ×BFN) CFS 的概念有助于 FS 分析方法与技术体系 的建构，有助于理解因素空间同概率空间、希尔 伯特空间和张量空间的关系。 前述讨论是对因素空间宏观结构的一种公理 化诠释，其意义在于为信息系统分析提供了一个 统一的语境场。 2 因素空间的结构 2.1 交错自同构变换与回旋格 通常认为，格是认知描述与形式概念分析理 想的代数系统[2, 36]。 本文引进格上的交错自同构变换和回旋格的 概念，然后给出 FS 对偶回旋定理，构成对 FS 代 数结构的新认知。 ⩽ L (L,⩽) ∀x, y ∈ L x∨y = sup{x, y} x∧y = inf{x, y} 定 义 7 设 为非空集合 上的偏序关系， 为有界偏序格，其中， ， ， ，泛下界为 0，泛上界为 1。 若 L 上存在变换τ，满足条件： 1) ∀x ∈ L, x , 0,1,τ(x) = x。 2) ∀x, y ∈ L，τ(x∨y) = x∧y，τ(x∧y) = x∨y。 3) τ(0) = 1,τ(1) = 0。 则称τ为 (L,⩽) 上的交错自同构变换 (staggered automorphism transform)。 下面诠释格上交错自同构变换的几何意义。 L = {xj} n j=1 , xj , 0,1 (L,⩽) C k n , k = 1,2,··· ,n 不妨设 ，在 中，格点是分 层的。按组合计数 ，同层的格点集 合记为 {xj} (1) = L,{∧xj} (k) = {∧k s=1 xjs },{∨xj} (k) = {∨k s=1 xjs } 第 4 期 包研科，等：因素空间的结构与对偶回旋定理 ·659·