·658· 智能系统学报 第13卷 1.2基本概念 因素之间的≤关系是偏序关系，并以论域上子 基于认知本体论原理的FS的基本概念、术语 集合之间的关系为背景关系。 和符号约定如下： 5)因素f与g的析运算是因素之间交互效应的 1)论域是一个关于问题的本体论研究对象的 描述与分析工具，记为f八g,主要服务于概念分 非空可列集合，记为U。因素是定义在论域U上的 化。析因素fΛg是由f和g构造出的有更强解析力 一个满映射，记为 的新因素，定义为 f:0→ 式中：集合I,称为f的相空间（寓意必须考虑映 g(x.y)=f(g).(x.)lxl 6)因素f与g的合运算是思维过程中的信息汇 射像的分布特征)，描述论域U上的一类本体论 总与认知概括工具，记为fVg,主要服务于概念同 性态。 化。合因素fVg可以理解为比因素f和g有更强概 约定两个特殊因素： 括力的新因素，定义为 ①零因素，记为o,其相空间。=NoN非空， 相态NoN用来描述所研究问题的“原始概念”或 fAgx,)=f)U80,x)∈x1, “根节点”，在论域U上关于NoN的讨论都是下位 7)因素f的补因素以及f与g的差运算是思维 学习。 过程中的信息分离工具。补因素实现视角的转 另外，约定NoN是任何一个因素f的相空间 换，记为f,定义为 1中的共有元素，寓意任何一个因素f在应用中都 g=f台Yx∈I,y∈1,8y)=U-f(x) 有被“空置”的可能，此时NoN可以表示因素f的 差运算的目的是“从一个因素中排除另一个 缺失值。 因素的干涉效应”，记为f-8,定义为 ②全因素，记为e,其相空间l同论域U对等， f-g台f∧8 即1.和U之间存在一一映射，表示因素e能够“完 1.3基本命题 全个体化”认知论域中的任何一个对象。 约定如下两个公理： 因素o和e称为非平凡因素，除此之外均为平 公理1（发现公理）oNoN)=U,e(x)=O。 凡因素。 公理2（顺序公理）o≤f≤e。 2)从某一个因素f的相空间1到论域U的幂集 注：由全元素的定义，公理(x)=O的意义是 牙(U)上的映射f称为因素f的回溯，满足 e的回溯不能在论域U发现以x标识的对象的等 Hx∈I,fx)=[xeF(U) 价类。 在前述概念（定义）和两个公理的基础上，可 式中：[x/表示由因素f的某一相态x在U限定出的 等价类；幂集牙(U)称为因素分析的背景空间。回 以证明下列命题： 溯的性质如下： 命题1（对合定理）f=8台f=80 ①Vx∈I,ffx)=xo 命题2（反变关系定理）g≤f台f≤8， ②x/U,ffr》=[ro 命题3（幂等律）fΛf=f,fVf=f。 ③x,yeI,x≠y,fx)nf0)=0。 命题4交换律)fΛg=gAf,fVg=gVf。 注：回溯是一种拟逆映射，同一般逆映射不同 命题5（结合律）fAg)Ah=fA(gAh),(fVg)V 之处在于fx)表示在论域U寻找以x标识的对象 h=fv(gvh)o 的等价类。 命题6（分配律）fA(gVh)=(fAg)VfAh),fV (gAh)=(fvg)(fvh) 3)两个因素f和g认知等效称为相等，定义为 命题7（第一吸收律）fVg≤f,fVg≤g; I=I(集合对等) f=8台 f≤gAf,8≤gΛfo f(f(u))=8(g(u)).YuEU 命题8（第二吸收律）若g≤f,则fΛg=f, 4)因素在U上的认知能力约简为描述概念分 fVg=g。反之亦真。 化的解析力和描述概念同化的概括力，并以解析 命题9第三吸收律)fV(fAg)=f,fA(fVg)=f。 力主导因素的序关系，定义 命题10（排序定理）o≤fVg≤f,g≤fΛ8≤eo 8≤f台Hx∈I,3y∈1g,使fx)Sg0y) 命题11（第一对偶律）o=e,e=o。 称为因素g小于或等于因素f,表示f比g或有更强 命题12（第二对偶律）(fAgy=fVg,(fVgy= 的解析力。 f'Ag。1.2 基本概念 基于认知本体论原理的 FS 的基本概念、术语 和符号约定如下： U U 1) 论域是一个关于问题的本体论研究对象的 非空可列集合，记为 。因素是定义在论域 上的 一个满映射，记为 f : U → If If f U 式中：集合 称为 的相空间 (寓意必须考虑映 射像的分布特征)，描述论域 上的一类本体论 性态。 约定两个特殊因素： o Io = {NoN} U ①零因素，记为 ，其相空间 非空， 相态 NoN 用来描述所研究问题的“原始概念”或 “根节点”，在论域 上关于 NoN 的讨论都是下位 学习。 f If f f 另外，约定 NoN 是任何一个因素 的相空间 中的共有元素，寓意任何一个因素 在应用中都 有被“空置”的可能，此时 NoN 可以表示因素 的 缺失值。 e Ie U Ie U ②全因素，记为 ，其相空间 同论域 对等， 即 和 之间存在一一映射，表示因素 e 能够“完 全个体化”认知论域中的任何一个对象。 因素o和e称为非平凡因素，除此之外均为平 凡因素。 f If U F ↼ f f 2) 从某一个因素 的相空间 到论域 的幂集 (U) 上的映射 称为因素 的回溯，满足 ∀x ∈ If , ↼ f(x) = [x]f ∈ F (U) [x]f f x U F 式中： 表示由因素 的某一相态 在 限定出的 等价类；幂集 (U) 称为因素分析的背景空间。回 溯的性质如下： ∀x ∈ If , f( ↼ ① f(x)) = x。 ∀[x]f ⊆ U, ↼ ② f(f([x]f)) = [x]f。 ∀x, y ∈ If , x , y, ↼ f(x)∩ ↼ ③ f(y) = Ø。 ↼ f(x) U 注：回溯是一种拟逆映射，同一般逆映射不同 之处在于 表示在论域 寻找以 x 标识的对象 的等价类。 3) 两个因素 f 和 g 认知等效称为相等，定义为 f = g ⇔    If ≓ Ig(集合对等) ↼ f(f(u)) = ↼ g(g(u)),∀u ∈ U 4) 因素在 U 上的认知能力约简为描述概念分 化的解析力和描述概念同化的概括力，并以解析 力主导因素的序关系，定义 g ⩽ f ⇔ ∀x ∈ If ,∃y ∈ Ig ,使 ↼ f(x) ⊆ ↼ g(y) 称为因素 g 小于或等于因素 f ， 表示 f 比 g 或有更强 的解析力。 ⩽ ⊆ 因素之间的 关系是偏序关系，并以论域上子 集合之间的关系 为背景关系。 f g f ∧g f ∧g f g 5) 因素 与 的析运算是因素之间交互效应的 描述与分析工具，记为 ，主要服务于概念分 化。析因素 是由 和 构造出的有更强解析力 的新因素，定义为 ←−−− f ∧g(x, y) = ↼ f(x)∩ ↼ g(y),∀(x, y) ∈ If × Ig f g f ∨g f ∨g f g 6) 因素 与 的合运算是思维过程中的信息汇 总与认知概括工具，记为 ，主要服务于概念同 化。合因素 可以理解为比因素 和 有更强概 括力的新因素，定义为 ←−−− f ∧g(x, y) = ↼ f(x)∪ ↼ g(y),∀(x, y) ∈ If × Ig f f g f ′ 7) 因素 的补因素以及 与 的差运算是思维 过程中的信息分离工具。补因素实现视角的转 换，记为 ，定义为 g = f ′ ⇔ ∀x ∈ If ,∃y ∈ Ig , ↼ g(y) = U − ↼ f(x) f −g 差运算的目的是“从一个因素中排除另一个 因素的干涉效应”，记为 ，定义为 f −g ⇔ f ∧g ′ 1.3 基本命题 约定如下两个公理： ↼ o(NoN) = U, ↼ 公理 1(发现公理) e(x) = Ø。 公理 2(顺序公理) o ⩽ f ⩽ e。 ↼ e(x) = Ø e U x 注：由全元素的定义，公理 的意义是 的回溯不能在论域 发现以 标识的对象的等 价类。 在前述概念 (定义) 和两个公理的基础上，可 以证明下列命题： ↼ f = ↼ 命题 1(对合定理) g ⇔ f = g。 g ⩽ f ⇔ ↼ f ⩽ ↼ 命题 2(反变关系定理) g。 命题 3(幂等律) f ∧ f = f, f ∨ f = f 。 命题 4(交换律) f ∧g = g∧ f, f ∨g = g∨ f 。 (f ∧g)∧h = f ∧(g∧h) (f ∨g)∨ h = f ∨(g∨h) 命题 5(结合律) ， 。 f ∧(g∨h) = (f ∧g)∨(f ∧h) f∨ (g∧h) = (f ∨g)∧(f ∨h) 命题 6(分配律) ， 。 f ∨g ⩽ f, f ∨g ⩽ g f ⩽ g∧ f,g ⩽ g∧ f 命 题 7 ( 第一吸收律 ) ； 。 g ⩽ f f ∧g = f f ∨g = g 命题 8(第二吸收律) 若 ，则 ， 。反之亦真。 命题 9(第三吸收律) f ∨(f ∧g)= f， f ∧(f ∨g)= f。 命题 10(排序定理) o ⩽ f ∨g ⩽ f,g ⩽ f ∧g ⩽ e。 o = e ′ , e = o 命题 ′ 11(第一对偶律) 。 (f ∧g) ′ = f ′ ∨g ′ (f ∨g) ′ = f ′ ∧g ′ 命题 12(第二对偶律) ， 。 ·658· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷