第4期 包研科，等：因素空间的结构与对偶回旋定理 ·657· 发展，也奠定了FS理论在知识发现与智能工程 和关键命题，部分内容笔者根据近期研究予以必 领域广泛应用的基础。袁学海8从范畴论的角 要的重述。复述与重述不做标识，有需要了解期 度对FS的结构问题进行了深入讨论；在FS理论 间变化的读者可同文献[34]进行比对。 的应用方面，刘增良9在因素神经网络技术，军 1.1认知本体论原理 事信息战与网络战领域的研究成绩斐然。此外， 因素是认知工具，因素分析应遵循认知本体 基于S理论的专家系统+多传感器决策融合 论原理，因素空间的结构应体现和摹写人类自身 控制仿真17191、模式识别202】、安全科学2221 的认知结构与思维运动规律。 等应用领域的研究，体现了FS作为智能科学的 认知由概念表达，概念是人类思维体系中最 数学空间理论的价值和发展前景。 基本的构筑单位。概念通常由内涵与外延两个逻 在KDD问题的研究中，1998年何清2讨论了 辑术语表达。内涵往往采用“上位概念+本位属 基于FS和模糊聚类的概念形成方法，2013年汪 性”的逻辑形式描述，而外延则是概念所描述的事 培庄发表《因素空间与因素库》一文26，推动 项的集合。 FS理论在KDD领域的应用。近年来，关于FS与 认知形成的标志是概念的形成，其间的思维 数据科学的关系P7,基于FS理论的分类算法22 运动，主要由分析和综合两种思维方法构成。分 文本挖掘方法0等相关研究也有一定的进展。 析的信息加工与处理技术是解析，实现方式是将 FS理论生根于数学，反映认识论特点，是 事物拆分为更小的单元进行管理和研究，或者表 KDD和概念格生成的一种自然有效的数学方 述为“发现事物的个性特征”。综合的信息加工与 法。然而，早期奠基性工作建立在模糊数学的基 处理技术是概括，实现方式是将一些具有相同属 础上，融合了随机数学和抽象代数的思想、方法 性的事物归纳为更大的单元进行管理和研究，或 和语言；FS理论的高起点在保证数学严谨性的同 者表述为“对事物的一类属性进行综合”。 时，也为其普及推广树立了一道屏障。S的经典 对一个概念的解析称为概念分化，是下位学 定义可见文献3]，此后的理论与应用研究基本上 习。对一些事物的共有属性进行概括，利用学习 遵循了这一定义的思想和描述。近年来，随着FS 者已有的认知结构形成新的概念称为概念同化， 领域应用和教学的深入，出现了对FS定义的领 是上位学习。 域适应性描述和扩展B23.2013年汪培庄在讨论 在认知科学的基本概念与原理的基础上，关 FS在数据科学中的应用问题时，对FS的定义进 于FS的认知本体论原理，本文吸收了冯嘉礼B关 行了修正」 于《思维与智能科学中的性质论方法》的一些思 为能够相对通俗地诠释FS理论的基本思想 想原理，参考了文献[36]的讨论。后续关于FS数 和原理，2015年包研科基于认知本体论原理， 学结构的讨论遵循下列认知本体论原理： 梳理了FS理论中的基本概念和术语，给出了有 1)一个因素总是特定论域上的因素，离开论 域谈论因素是没有意义的。更进一步，一个因素 别于FS经典定义的描述。这一描述充分体现了 总是特定论域上特定问题的因素，离开问题无从 汪培庄“因素是分析的维度，是变异的指标和变量 讨论因素的认知功能。论域、因素和由因素形成 名称，是矛盾的编码，是事物形成和描述的基因。 的关于问题的认知结果构成一个特定的思维空间。 以因素为轴所张成的坐标空间就是因素空间，它 2)概念的分化与同化动态平衡。在概念形成 为事物描述和思维形式提供了普适性的坐标框 过程中，思维在解析与概括的交替运用中发展。 架2的论述精神。文献[34]对FS的定义，最大的 解析强化内涵知识，促进概念分化；概括丰富外 变化是对因素的顺序关系、算符的意义给出了符 延认知，促进概念同化。在这个过程中，内涵与 合认知本体论原理的描述，形式上同经典定义有 外延存在反变关系，即内涵扩张必然减小外延， 所不同，并再次触发了对FS结构问题的思考。 反之内涵缩减将导致外延扩张。一个概念的形 本文的工作是文献[34的延续，进一步讨论 成，是一定认知阶段上分化与同化的暂时平衡。 FS的结构问题。 3)概念的内涵与外延对合，即内涵与外延所 1预备知识 描述的事项一致。在概念形成过程中，解析与概 括之间的差异是思维的技术性差异，不同技术产 为方便对本文工作的理解，作为预备知识，简 生的信息在思维运动中以概念的内涵与外延对合 要介绍文献[34]中给出的原理、概念与术语、公理 为目标纠缠运动，辩证统一。发展，也奠定了 FS 理论在知识发现与智能工程 领域广泛应用的基础。袁学海[6-8]从范畴论的角 度对 FS 的结构问题进行了深入讨论；在 FS 理论 的应用方面，刘增良[9-13]在因素神经网络技术，军 事信息战与网络战领域的研究成绩斐然。此外， 基于 FS 理论的专家系统[14-15] 、多传感器决策融合[16] 、 控制仿真[ 1 7 - 1 9 ] 、模式识别[ 2 0 - 2 1 ] 、安全科学[ 2 2 - 2 4 ] 等应用领域的研究，体现了 FS 作为智能科学的 数学空间理论的价值和发展前景。 在 KDD 问题的研究中，1998 年何清[25]讨论了 基于 FS 和模糊聚类的概念形成方法，2013 年汪 培庄发表《因素空间与因素库》一文[ 2 6 ] ，推动 FS 理论在 KDD 领域的应用。近年来，关于 FS 与 数据科学的关系[27] ，基于 FS 理论的分类算法[28-29] 、 文本挖掘方法[30-31]等相关研究也有一定的进展。 FS 理论生根于数学，反映认识论特点，是 KDD 和概念格生成的一种自然有效的数学方 法。然而，早期奠基性工作建立在模糊数学的基 础上，融合了随机数学和抽象代数的思想、方法 和语言；FS 理论的高起点在保证数学严谨性的同 时，也为其普及推广树立了一道屏障。FS 的经典 定义可见文献[3]，此后的理论与应用研究基本上 遵循了这一定义的思想和描述。近年来，随着 FS 领域应用和教学的深入，出现了对 FS 定义的领 域适应性描述和扩展[32-33]。2013 年汪培庄在讨论 FS 在数据科学中的应用问题时，对 FS 的定义进 行了修正[26]。 为能够相对通俗地诠释 FS 理论的基本思想 和原理，2015 年包研科[34]基于认知本体论原理， 梳理了 FS 理论中的基本概念和术语，给出了有 别于 FS 经典定义的描述。这一描述充分体现了 汪培庄“因素是分析的维度，是变异的指标和变量 名称，是矛盾的编码，是事物形成和描述的基因。 以因素为轴所张成的坐标空间就是因素空间，它 为事物描述和思维形式提供了普适性的坐标框 架” [27]的论述精神。文献[34]对 FS 的定义，最大的 变化是对因素的顺序关系、算符的意义给出了符 合认知本体论原理的描述，形式上同经典定义有 所不同，并再次触发了对 FS 结构问题的思考。 本文的工作是文献[34]的延续，进一步讨论 FS 的结构问题。 1 预备知识 为方便对本文工作的理解，作为预备知识，简 要介绍文献[34]中给出的原理、概念与术语、公理 和关键命题，部分内容笔者根据近期研究予以必 要的重述。复述与重述不做标识，有需要了解期 间变化的读者可同文献[34]进行比对。 1.1 认知本体论原理 因素是认知工具，因素分析应遵循认知本体 论原理，因素空间的结构应体现和摹写人类自身 的认知结构与思维运动规律。 认知由概念表达，概念是人类思维体系中最 基本的构筑单位。概念通常由内涵与外延两个逻 辑术语表达。内涵往往采用“上位概念+本位属 性”的逻辑形式描述，而外延则是概念所描述的事 项的集合。 认知形成的标志是概念的形成，其间的思维 运动，主要由分析和综合两种思维方法构成。分 析的信息加工与处理技术是解析，实现方式是将 事物拆分为更小的单元进行管理和研究，或者表 述为“发现事物的个性特征”。综合的信息加工与 处理技术是概括，实现方式是将一些具有相同属 性的事物归纳为更大的单元进行管理和研究，或 者表述为“对事物的一类属性进行综合”。 对一个概念的解析称为概念分化，是下位学 习。对一些事物的共有属性进行概括，利用学习 者已有的认知结构形成新的概念称为概念同化， 是上位学习。 在认知科学的基本概念与原理的基础上，关 于 FS 的认知本体论原理，本文吸收了冯嘉礼[35]关 于《思维与智能科学中的性质论方法》的一些思 想原理，参考了文献[36]的讨论。后续关于 FS 数 学结构的讨论遵循下列认知本体论原理： 1) 一个因素总是特定论域上的因素，离开论 域谈论因素是没有意义的。更进一步，一个因素 总是特定论域上特定问题的因素，离开问题无从 讨论因素的认知功能。论域、因素和由因素形成 的关于问题的认知结果构成一个特定的思维空间。 2) 概念的分化与同化动态平衡。在概念形成 过程中，思维在解析与概括的交替运用中发展。 解析强化内涵知识，促进概念分化；概括丰富外 延认知，促进概念同化。在这个过程中，内涵与 外延存在反变关系，即内涵扩张必然减小外延， 反之内涵缩减将导致外延扩张。一个概念的形 成，是一定认知阶段上分化与同化的暂时平衡。 3) 概念的内涵与外延对合，即内涵与外延所 描述的事项一致。在概念形成过程中，解析与概 括之间的差异是思维的技术性差异，不同技术产 生的信息在思维运动中以概念的内涵与外延对合 为目标纠缠运动，辩证统一。 第 4 期 包研科，等：因素空间的结构与对偶回旋定理 ·657·