第13卷第4期 智能系统学报 Vol.13 No.4 2018年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2018 D0:10.11992/tis.201706057 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180329.1555.008.html 因素空间的结构与对偶回旋定理 包研科，汪培庄，郭嗣琮 (辽宁工程技术大学智能工程与数学研究院，辽宁阜新123000】 摘要：基于概念的内涵与外延的对合性与反变关系，以及概念形成过程中概括与解析的辩证统一性，深入讨 论了因素空间的数学结构问题。系统梳理了由认知本体论原理构造出的因素空间的基本概念与核心命题，为 基于因素空间的知识发现理论与技术的研究提供了一种新的思想框架。首次提出了格上的交错自同构变换与 回旋格的概念，证明了因素空间上的对偶回旋定理，揭示出因素空间数学结构的几何表象是一个麦乌比斯环， 为阐释人类思维与概念形成过程的动力学机制提供了一个新的数学模型。 关键词：因素空间：结构：交错自同构变换：回旋格：对偶回旋定理 中图分类号：TP18:029 文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)040656-09 中文引用格式：包研科，汪培庄，郭嗣琼.因素空间的结构与对偶回旋定理.智能系统学报，2018,13(4)：656-664. 英文引用格式：BAO Yanke,.VANG Peizhuang,GUO Sicong.Structure of factor space and the dual convolution theorem[J.CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(4):656-664. Structure of factor space and the dual convolution theorem BAO Yanke,WANG Peizhuang,GUO Sicong (Institute of Intelligent Engineering and Mathematics,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,China) Abstract:Based on two expressions consistency and the reverse-change relation of conceptual connotation and exten- sion,as well as the dialectical unity of summary and parsing in the concept formation process,in this paper,we present a detailed discussion of the mathematical structure of factor space.We systematically identify the basic concepts and core propositions of factor space,as constructed by the principle of cognitive ontology,and provide a new ideological frame- work for both the theoretical and technological research of knowledge discovery based on factor space.We propose nov- el concepts related to the staggered automorphism transform and the convolution lattice,prove the dual entanglement theorem of factor space,and introduce a geometrical representation of the mathematical structure of factor space as a Mobius strip,thereby establishing a new mathematical model for illustrating the dynamics mechanism of the formation of human thinking and conceptualization. Keywords:factor space;structure;staggered automorphism transform;convolution lattice;dual convolution theorem 自1982年汪培庄提出因素空间(factors 年汪培庄、李洪兴合著]《知识表示的数学理 space,FS)理论，时至今日，35年来理论与应用的 论》一书系统地论述了FS理论在知识获取、知 发展，充分展示了F$理论在解释随机性根源和 识表示、知识管理和知识利用方面的数学思想与 概率规律的数学实质，融合随机数学与模糊数学 原理。《模糊计算系统与模糊计算机》及其相 的技术方面思想的深刻性，奠定了FS理论作为 关的工程实践标志着FS理论与智能工程设计理 知识工程的思想框架的地位。 念的完美结合，其中给出的概念内涵和外延相互 FS理论的早期成果可见汪培庄文集四。1994 转换的可操作方法，实现了决策树算法和粗糙集 收稿日期：2017-06-16.网络出版日期：2018-03-29. 算法没有实现的“双向转换的目的”。其后，李洪 基金项目：国家自然科学基金项目(71371091)；中国工程院 2017年重点咨询项目(2017-XZ-23). 兴1关于《因素空间理论与知识表示的数学框 通信作者：包研科.E-mail:baoyanke_257@163.com. 架》长达5年的系列讨论，不仅推进了FS理论的DOI: 10.11992/tis.201706057 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20180329.1555.008.html 因素空间的结构与对偶回旋定理 包研科，汪培庄，郭嗣琮 （辽宁工程技术大学 智能工程与数学研究院，辽宁 阜新 123000） 摘 要：基于概念的内涵与外延的对合性与反变关系，以及概念形成过程中概括与解析的辩证统一性，深入讨 论了因素空间的数学结构问题。系统梳理了由认知本体论原理构造出的因素空间的基本概念与核心命题，为 基于因素空间的知识发现理论与技术的研究提供了一种新的思想框架。首次提出了格上的交错自同构变换与 回旋格的概念，证明了因素空间上的对偶回旋定理，揭示出因素空间数学结构的几何表象是一个麦乌比斯环， 为阐释人类思维与概念形成过程的动力学机制提供了一个新的数学模型。 关键词：因素空间；结构；交错自同构变换；回旋格；对偶回旋定理 中图分类号：TP18;O29 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)04−0656−09 中文引用格式：包研科, 汪培庄, 郭嗣琮. 因素空间的结构与对偶回旋定理[J]. 智能系统学报, 2018, 13(4): 656–664. 英文引用格式：BAO Yanke, WANG Peizhuang, GUO Sicong. Structure of factor space and the dual convolution theorem[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(4): 656–664. Structure of factor space and the dual convolution theorem BAO Yanke，WANG Peizhuang，GUO Sicong (Institute of Intelligent Engineering and Mathematics, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China) Abstract: Based on two expressions consistency and the reverse-change relation of conceptual connotation and exten￾sion, as well as the dialectical unity of summary and parsing in the concept formation process, in this paper, we present a detailed discussion of the mathematical structure of factor space. We systematically identify the basic concepts and core propositions of factor space, as constructed by the principle of cognitive ontology, and provide a new ideological frame￾work for both the theoretical and technological research of knowledge discovery based on factor space. We propose nov￾el concepts related to the staggered automorphism transform and the convolution lattice, prove the dual entanglement theorem of factor space, and introduce a geometrical representation of the mathematical structure of factor space as a Mobius strip, thereby establishing a new mathematical model for illustrating the dynamics mechanism of the formation of human thinking and conceptualization. Keywords: factor space; structure; staggered automorphism transform; convolution lattice; dual convolution theorem 自 1982 年汪培庄[ 1 ]提出因素空间 (factors space，FS) 理论，时至今日，35 年来理论与应用的 发展，充分展示了 FS 理论在解释随机性根源和 概率规律的数学实质，融合随机数学与模糊数学 的技术方面思想的深刻性，奠定了 FS 理论作为 知识工程的思想框架的地位。 FS 理论的早期成果可见汪培庄文集[2]。1994 年汪培庄、李洪兴合著[ 3 ]《知识表示的数学理 论》一书系统地论述了 FS 理论在知识获取、知 识表示、知识管理和知识利用方面的数学思想与 原理。《模糊计算系统与模糊计算机》[4]及其相 关的工程实践标志着 FS 理论与智能工程设计理 念的完美结合，其中给出的概念内涵和外延相互 转换的可操作方法，实现了决策树算法和粗糙集 算法没有实现的“双向转换的目的”。其后，李洪 兴 [5]关于《因素空间理论与知识表示的数学框 架》长达 5 年的系列讨论，不仅推进了 FS 理论的 收稿日期：2017−06−16. 网络出版日期：2018−03−29. 基金项目：国家自然科学基金项目 (71371091)；中国工程院 2017 年重点咨询项目 (2017-XZ-23). 通信作者：包研科. E-mail：baoyanke_9257@163.com. 第 13 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.4 2018 年 8 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug. 2018