第24卷第4期 统计与信息论坛 2009年4月 Vol.24 No.4 Statistics Information Forum Apr.,2009 【统计理论与方法】 基于MCMC方法的GARCH模型参数估计 潘海涛1，温小霓2 (1.西安财经学院统计学院，陕西西安710100：2.西安电子科技大学经济管理学院，陕西西安710061) 摘要：参数GARCH模型是最常用的度量金融市场波动性的模型。运用马尔科夫蒙特卡罗(MCMC)方法 对残差基于正态分布的GARCH(1,1)的参数进行估计，由沪市股指收益率数据的实证分析结果表明：基于马 尔科夫蒙特卡罗(MCMC)方法估计的GARCH模型比基于极大似然估计(ML)方法估计的GARCH模型具有 更好的拟合效果和预测能力。 关键词：GARCH(l,l)模型；MCMC算法；Gibbs抽样；Metropolis-Hasting算法；波动性；预测 中图分类号：0212.8文献标志码：A文章编号：1007-3116(2009)04-0012-05 在大多数研究中，对于参数GARCH模型系数 假定我们希望从分布f(日1X)中抽取一个随 的估计采用的都是经典的方法，例如极大似然法 机样本，它包含一个复杂的标准化常数，直接的抽取 (ME),当我们用基于梯度的方法来进行数值最优 要么太浪费时间，要么不可行，但若存在一个近似分 化求解过程中，目标函数应当是凸函数，否则，经典 布，且可以很容易的得到随机样本的话，那么则可以 的方法很难应用。此外，对于GARCH模型的系数 应用Metropolis算法。Metropolis算法就是从近似分 所进行的限制，也使得进一步对系数进行统计推断 布中产生一系列的随机抽取，使其分布函数收敛到 变得困雄。为了使得GARCH模型成为平稳过程和 f(01X)此算法如下： 满足其他的一些性质，从本质上要将GARCH模型 步骤1：抽取一个随机的初始值0o,满足f(001 表示为一些复杂的不等式组，这使得经典的方法很 X)>0; 难对GARCH的系数进行统计推断[1-3)。 步骤2：对t=1,2,… 本文引人基于Bayes计算的MCMC方法来对 (a)第t次迭代时，在给定前面的抽取0，-1下， GARCH模型的参数进行估计，通过构造GARCH 从已知分布中抽取一个候选样本日，。用J(61 模型系数的算法并结合沪市股指收益率实际数据进 0-1)表示已知分布，在Gelman中称为跳跃分布。这 行分析，证实了该方法的有效性。 个跳跃分布要求是对称的，即对于所有的日：，日，t, 一、Gibbs抽样和M-H算法 有J(018)=J(81a) (6)计算比率r= f(9.1X) Geman和Geman、Gelfand和Smith的Gibbs抽 f(0-11X) 样是应用最广的MCMC方法。Gibbs抽样具有将 8.;以概率min(r,l) 高维的估计问题利用所有参数的条件分布分解为几 (c)设定0.=0-1，其他 个低维问题的优点，具体抽样的思想和步骤可参看 在一些正则条件下，序列{日}依分布收敛到 上述学者的文章著作。下面仅简单介绍Metropolis f(01X),具体证明见Gelman等。 算法和Metropolis一Hasting算法。 算法的实施要求对所有的日，和日，-1计算比率 收稿日期：2009-02-19 基金项目：西安统计研究院课题《非参数回归的稳健Bot2rp在经济数据中的应用》(07JD13) 作者简介：潘海涛(1978-)，男，浙江奉化人，讲师，研究方向：统计计算，非参数方法； 沮小克(1955-)，女，山西孝义人，数授，研究方向：多元统计方法，经济时间序列分析。 12 万方数据第24卷第4期 Vd．24 Nb．4 统计与信息论坛 Statistics&In{bnllation Fbrum 2009年4月 Apr-，2009 【统计理论与方法】 基于MCMC方法的GARCH模型参数估计 · 潘海涛1，温小霓2 (1．西安财经学院统计学院，陕西西安710100；2．西安电子科技大学经济管理学院，陕西西安710061) 摘要：参数GARCH模型是最常用的度量金融市场波动性的模型。运用马尔科夫蒙特卡罗(McMC)方法 对残差基于正态分布的GARCH(1，1)的参数进行估计，由沪市股指收益率数据的实证分析结果表明：基于马 尔科夫蒙特卡罗(McMc)方法估计的GARCH模型比基于极大似然估计(ML)方法估计的GARCH模型具有 更好的拟合效果和预测能力。 关键词：GARCH(1，1)模型；MCMC算法；GibbS抽样；Met删dis—HaSting算法；波动性；预测 中图分类号：0212．8 文献标志码：A 文章编号：1007—3116(2009)04—0012—05 在大多数研究中，对于参数GARCH模型系数 的估计采用的都是经典的方法，例如极大似然法 (MLE)，当我们用基于梯度的方法来进行数值最优 化求解过程中，目标函数应当是凸函数，否则，经典 的方法很难应用。此外，对于GARCH模型的系数 所进行的限制，也使得进一步对系数进行统计推断 变得困难。为了使得GARCH模型成为平稳过程和 满足其他的一些性质，从本质上要将Q娘CH模型 表示为一些复杂的不等式组，这使得经典的方法很 难对G根CH的系数进行统计推断[卜31。 本文引入基于Bayes计算的MCMC方法来对 GARCH模型的参数进行估计，通过构造Q啵CH 模型系数的算法并结合沪市股指收益率实际数据进 行分析，证实了该方法的有效性。 一、Gibbs抽样和M—H算法 G锄ail和G电man、G毛l缸d和Smith的GibbS抽 样是应用最广的MCMC方法。GibbS抽样具有将 高维的估计问题利用所有参数的条件分布分解为几 个低维问题的优点，具体抽样的思想和步骤可参看 上述学者的文章著作。下面仅简单介绍Metroldis 算法和Metropolis—HaSting算法。 假定我们希望从分布厂(口l X)中抽取一个随 机样本，它包含一个复杂的标准化常数，直接的抽取 要么太浪费时间，要么不可行，但若存在一个近似分 布，且可以很容易的得到随机样本的话，那么则可以 应用Metropolis算法。Men即lis算法就是从近似分 布中产生一系列的随机抽取，使其分布函数收敛到 厂(口I X)。此算法如下： 步骤1：抽取一个随机的初始值日o，满足厂(臼o X)>0； 步骤2：对￡=1，2，… (a)第￡次迭代时，在给定前面的抽取f9f一1下， 从已知分布中抽取一个候选样本口。。用^(岛I 吼一1)表示已知分布，在叫man中称为跳跃分布。这 个跳跃分布要求是对称的，即对于所有的皖，乱，￡， 有^(岛I谚)=^(岛I巩) (b)计算比率r=舷隅 (c)设定馥=钯雾嘶出’1’ 在一些正则条件下，序列{以}依分布收敛到 ．厂(口l X)，具体证明见蹦man等。 算法的实施要求对所有的a。和以一1计算比率 收稿日期：2009一02—19 基金项目：西安统计研究院课题《非参数回归的稳健Boo晓舰p在经济数据中的应用》(07JDl3) 作者简介：潘海涛(1978一)，男，浙江奉化人，讲师，研究方向：统计计算，非参数方法； 温小霓(1955一)，女，山西孝义人，教授，研究方向：多元统计方法，经济时间序列分析。 万方数据