潘海游，温小宽：基于MCMC方法的GARCH模型参数估计 r,以便从跳跃分布中抽取日，，并从均匀分布中抽 的，这样就无法找到参数的共轭先验分布，因此，借 取一个随机实现，决定接受或者拒绝0，。不需要 助于Metropolis-Hasting(M-H)算法。具体方法 f(01X)的标准化常数，因为这里只利用比率。 如下： 此算法的接受和拒绝准则思想如下：1.如果从 参数的初值为⊙o】=(ao,po),因为，无法 日，-1到0，的跳跃增加了条件后验密度，则接受0。 得到条件分布的显示表示，从参数α，B各自的分布 作为日，；2.如果这个跳跃降低了后验密度，则以等 进行随机数的抽取，运用(M-H)算法J次，可以得 于密度比r的概率设定8，=0，，否则设定日= 到第J次参数的迭代结果为： 9-1这个思想显然是合理的。 alil ~p(a l pli-n,y) Hasting以两种方式推广了Metropolis算法。首 g1-p(B1a,y）) 先，跳跃分布无需对称；其次，跳跃准则修正为： 其次，注意到GARCH(1,1)模型可以写为如下 r=fa.1X00.(0、102 的ARMA(1,1)模型： f0-11X)/J(0-116.) h=a0+a1y2-1+:-l 这个修正的算法称为Metropolis-Hasting算法。 台y2=ao+(a1+)y经-1--1+w 下面应用MCMC算法的思想来构造GARCH (1,1)模型中参数的估计方法。 其中m,=好-h=(学-1Dh h 二、MCMC算法在GARCH(1,1) =（x7-1)h (1) 由{}的构造可知，序列{w}是一个鞅差过 参数估计中的应用 程(Martingale Difference Process),可以得到其方差 新息(innovations)为正态分布的GARCH(1,l) 为2h。据Nakatsuma知，很难直接从式(1)中生成 模型如下： 参数⊙的随机数。因此，用一个期望为0，方差为2h2 =ehn,t=1,…,T 的正态随机变量：来近似w。据此，可以构造如下 e:~idN(0,1) 的辅助方程： h:=a0+a1yi-1-,-1 y2=a0+(a1+)y2-1--1+4 这里，a0>0,a1≥0，B≥0。条件方差h,是滞 注意到，名：和h:都是⊙的函数，即有 后一阶平方观察值和滞后一阶方差的线性函数。参 z(8)=y2-a0-(a1+)y2-1+-(⊙) 数的正定性的限制保证了方差为正定的。为了写出 h,(⊙)=a0+a1y2-1+hr-1(⊙) (2) 似然函数，定义以下的向量：y=（y1,…,yT）',a= 再记(T×T)的对角矩阵A=A(⊙)= (ao,a1)',然后将所有参数记为：⊙=(a,B),除此 diag({2h(⊙)T1)和z=（z1,…,zr)',我们得到 之外，再定义一个(T×T)的对角矩阵∑= 了似然函数的近似为： ∑(o)=diagh1(8)证1，这里：h,(8)=co+ (detA)xp](3) a1y2-1-伍-1（⊙），由此，可以写出似然函数如下： 下面会看到，抽取a,B的随机数的分布就基于 l(e1y)o(det∑)nepl-2y∑'y】 上述的似然函数。 为了方便起见，将第一个观察值作为初值，方差 (一)ARCH系数的生成 的初值固定为a0。给予参数a,B如下的先验： 由Chib&Greenberg迭代变换可知，式(2)中的 p(a)cc Na(a l,)I 2,(⊙)可以写为a的线性函数。为了方便，记v:= y2,迭代变换为：l:=1+仪-1，v=-1+1, p(B)cN(BI9,∑BILB>0I 这里0，vg的初值均设为0。记=（v1,…,r）', 这里，4，∑.是超参数，是示性函数，N4是 c:=(l:,v,),构造(T×2)的矩阵C,其第t行是 d维正态分布。此外，假设参数a,B是独立的，即 c。可以看出z=v一Ca,这样可以将α的似然函数 (⊙)=(a)p(B),这样，由贝叶斯法则，可以得到 记为： 参数的联合后验分布为： p(⊙1y)cl(日Iy)p(⊙)。 I(aB)c(detA)-1exp- GARCH(1,1)模型中的方差方程是递推形式 Ca)'A-1(v-Ca)] 13 万方数据潘海涛，温小霓：基于MCMC方法的GARCH模型参数估计 r，以便从跳跃分布中抽取口。，并从均匀分布中抽 取一个随机实现，决定接受或者拒绝口，。不需要 厂(口I X)的标准化常数，因为这里只利用比率。 此算法的接受和拒绝准则思想如下：1．如果从 B—l到口。的跳跃增加了条件后验密度，则接受p。 作为巩；2．如果这个跳跃降低了后验密度，则以等 于密度比r的概率设定以=口。，否则设定B= 幺一1。这个思想显然是合理的。 HaSting以两种方式推广了Met砌polis算法。首 先，跳跃分布无需对称；其次，跳跃准则修正为： 厂(口。I X)仉(口。l仇一1) ’一，(仇一1 X)∥。(良一l l口．) 这个修正的算法称为Met叫diS-Hasting算法。 下面应用MCMC算法的思想来构造G讯CH (1，1)模型中参数的估计方法。 二、MCMC算法在GARCH(1，1) 参数估计中的应用 新息(innovations)为正态分布的GARCH(1，1) 模型如下： M=e正：忍，￡=1，…，T e。～i以N(0，1) ^f=口o+口1 3，；一l一犀￡一l 这里，口o>0，口1≥0，p≥0。条件方差^。是滞 后一阶平方观察值和滞后一阶方差的线性函数。参 数的正定性的限制保证了方差为正定的。为了写出 似然函数，定义以下的向量：y=(y1，…，了T)7，a= (ao，口1)7，然后将所有参数记为：@=(口，卢)，除此 之外，再定义一个(T×T)的对角矩阵∑= ∑(@)=diag{^1(@)}二1'这里：^。(@)=口o+ 口ly；一l一摩f_1(@)，由此，可以写出似然函数如下： z(@I了)。C(det∑)1尼eXp[-告了’∑～y] 为了方便起见，将第一个观察值作为初值，方差 的初值固定为口o。给予参数口，卢如下的先验： 户(a)。C N2(a I心，∑。)叱>o] p(卢)。C N(J9 J邱，∑日)J[p>o】 这里，∥，∑．是超参数，，[．]是示性函数，N0是 d维正态分布。此外，假设参数口，卢是独立的，即 p(@)=p(a)户(p)。这样，由贝叶斯法则，可以得到 参数的联合后验分布为： 户(@I y)oc Z(@I了)夕(@)。 GARCH(1，1)模型中的方差方程是递推形式 的，这样就无法找到参数的共轭先验分布，因此，借 助于Me仃c∞lis—HaSting(M—H)算法。具体方法 如下： 参数的初值为@[o]=(∥01，∥01)，因为，无法 得到条件分布的显示表示，从参数口，卢各自的分布 进行随机数的抽取，运用(M—H)算法_r次，可以得 到第J次参数的迭代结果为： 口[j】～户(口I∥j一1|，y) ∥～p(卢I口[川，y) 其次，注意到GARCH(1，1)模型可以写为如下 的ARMA(1，1)模型： ^￡=口o+口1y；一l+陋￡一l {jy；=口o+(口l+J9)了；一l—J9础f—l+t‰ ．．2 其中姒=y；一^。=(半一1)^。 =(z}一1)^。 (1) 由{姒}的构造可知，序列{毗}是一个鞅差过 程(Maningale Diffe嘲撇P懒)，可以得到其方差 为2^；。据NakatSuma知，很难直接从式(1)中生成 参数@的随机数。因此，用一个期望为o，方差为2^； 的正态随机变量≈来近似砒。据此，可以构造如下 的辅助方程： y；=口o+(口1+J9)y；一l一盘卜．1+≈ 注意到，砀和^f都是@的函数，即有 ‰(@)=y；一口。一(口l+卢)了；一1+艮卜．1(@) ^￡(@)=口o+aly；一1+肛f—l(@) (2) 再记(T×T)的对角矩阵以=A(@)= diag({2^；(@)}五1)和z=(2l，…，zT)7，我们得到 了似然函数的近似为： z(@I，)。C(detA)-1／2eXp[一告z么．1z] (3) 下面会看到，抽取口，卢的随机数的分布就基于 上述的似然函数。 (一)ARCH系数的生成 由Chib&Q代nberg迭代变换可知，式(2)中的 z。(@)可以写为口的线性函数。为了方便，记仇= 了；，迭代变换为：z，=1+犀0l，口f=仇一1+加工l’ 这里z孑，口彳的初值均设为0。记口=(口1，…，钞丁)7， ct=(zf，口?)，构造(T×2)的矩阵C，其第￡行是 c。。可以看出z=口一巳，这样可以将a的似然函数 记为： z(口I卢，y)∞(det以)一1尼exp[一告(口一 ＆)么-1(口一已)] 13 万方数据