180 高等数学重点难点100讲 第55讲定积分定义 定积分定义所包含的内容十分丰富,这一讲只初步探讨运用定积分定义计算定积分,求 极限及证明不等式的基本方法. 、定积分的定义 1.定积分的定义 设函数f(x)在[ab上有界,在[a,b中任意插入若干个分点: 把区间[a,b]分成n个小区间[x,x1],[x1,x2]…,[xn-1,xn],各小区间的长度依次为△x,i 1,2,…,n,在每个小区间上任取一点,∈[x-1,x,],=1,2,…,n,作出乘积∫()△x,i =1,2,…,n,并作出和 f(;) 55.1) 记λ=max{4x1,Ax2,…,Axn},若不论对[a,b]怎样的分法,也不论5,在小区间[x,-1 x上怎样的取法,只要当λ→0时,和总有确定的极限I,则称极限I为函数f(x)在区间 [a,b]上的定积分(简称积分),记作f(x)dx,即 f(x)dx=lim∑f()Ax (55.2) 其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,a、b分别称为积分 的下、上限[a,b]称为积分区间,∑f()Ax称为积分和 2.可积的充分条件 (1)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[ab]可积; (2)设f(x)在[ab上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积 注意(1)定义指出:函数f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的必要条件 2)因为定积分r=f(x)dx是积分和式口=∑f()△x的极限,虽然的值会由于 对[a,b的分划不同和6在[x-1,x,上的取法不同而相异但l作为a当入→0时的极限是 惟一的数所以I=f(x)dz既与对ab]的分划无关也与在【x,-1x上的取法无关 且由 I=f(dx=limo=lim 2/(e)Ar 知I与积分区间[a,b]和被积函数∫有关由于函数f与所用自变量(此处为积分变量)的字 母无关,所以I也与积分变量字母无关,即 f(rdt=f( u)au 3.定积分的几何意义 曲线y=f(x)(f(x)≥0),x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积 等于函数f(x)在区间[a]上的定积分,即A=|f(x)d