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第一讲微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前,数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量,而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆,而对 于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶,由于科学技术发展的需 要,人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上,人们关心如何 根据路程函数去确定质点的瞬时速度,或者根据瞬时速度去求质点走 过的路程。在几何上,人们希望找到求一般曲线的切线的方法,并计 算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是,不同领域的问题却归结 为相同模式的数学问题:求因变量在某一时刻对自变量的变化率:因 变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念:后者 导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1.极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪,中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论 述:“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰,日取其半,万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪,中国古代数学家刘徽首创的割圆术,即用无穷小分 割求面积的方法,就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边 形的边长来逼近圆周,得到了 3.141024<π<3.142704, 并深刻地指出:“割之弥细,所失弥少:割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣。” 1 第一讲 微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前,数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量,而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆,而对 于一般曲线则无能为力。到了 17 世纪中叶,由于科学技术发展的需 要,人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上,人们关心如何 根据路程函数去确定质点的瞬时速度,或者根据瞬时速度去求质点走 过的路程。在几何上,人们希望找到求一般曲线的切线的方法,并计 算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是,不同领域的问题却归结 为相同模式的数学问题:求因变量在某一时刻对自变量的变化率;因 变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念;后者 导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1.极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前 4 世纪,中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论 述:“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰,日取其半,万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。 公元 3 世纪,中国古代数学家刘徽首创的割圆术,即用无穷小分 割求面积的方法,就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边 形的边长来逼近圆周,得到了 141024.3 < π < 142704.3 , 并深刻地指出:“割之弥细,所失弥少;割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣。” 1
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