第一讲微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需 要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何 根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走 过的路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计 算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结 为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率：因 变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念：后者 导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1.极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论 述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分 割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边 形的边长来逼近圆周，得到了 3.141024<π<3.142704， 并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少：割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 1 第一讲 微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。到了 17 世纪中叶，由于科学技术发展的需 要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何 根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走 过的路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计 算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结 为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因 变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者 导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前 4 世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论 述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。 公元 3 世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分 割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边 形的边长来逼近圆周，得到了 141024.3 < π < 142704.3 ， 并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 1