我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后 人称之为“祖啦原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片（基） 叠成的：若两个几何体相应的小片的截面积（幂势”）都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 {x2+y2+:2≤R2,z≥0}：将圆柱体{x2+y2≤R2,0≤：≤R}减去（即挖去） 倒立的圆锥{x+y≤2，0≤：≤R}视为另一个几何体。则对任意的 0≤：≤R,过(0,0，)点作水平截面，得到的截口面积相等，都为 x(R-),由此得到球体的体积为r=专R。 2.十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪，古希腊数学家安提丰(Antiphon)创立了“穷竭 法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。 公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德(Archimedes)对“穷竭法” 作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物 弓形的面积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形 的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿 基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。 阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615年，德国数学家开普勒(J.Kepler,,1571-1630)用无穷小微 元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆 2我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { }；将圆柱体 { 2 22 2 x y z Rz ++≤ ≥ , 0 2 2 2 x + y R ≤ ，0 ≤ z ≤ R }减去（即挖去） 倒立的圆锥{ 222 x + ≤ y z ， 0 ≤ z ≤ R }视为另一个几何体。则对任意的 0 ≤ ≤z R ，过 (0,0, )z 点作水平截面，得到的截口面积相等， 都为 π (R z 2 2 − ) ，由此得到球体的体积为 4 3 3 V R = π 。 2．十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前 5 世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）创立了“穷竭 法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。 公元前 2 世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对“穷竭法” 作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物 弓形的面积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形 的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿 基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。 阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615 年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微 元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆 2