对此式两边求导,并利用逐项求导定理即得 ,x∈(-1,1) 两边同时乘以x,便得到 ∑ x∈(-1,1) 作为这个结果的应用,我们来求级数∑”的和。 在上式中令x=1,则有 ∑ 而 ,所以 2 2 例9.2.9求幂级数 ∑ -的和函数 n+ 解由于 m(n+1)n+2) n(n+ 所以幂级数∑ 的收敛半径R=1。令 naI n(n+D) S(x)=∑ x∈(-1,1)。 n(n+1) 应用幂级数的逐项可导性,可得 (xS(x)) n(n+1) (xs(x) x∈(-1,1)。 对上一等式两边从0到x积分,注意到(xS(x)=0,便得 (xS(x))= dx=-h(1-x) 01 再积分一次,注意到xS(x)=0=0,便得   n0 n x 1 x 1 。 对此式两边求导，并利用逐项求导定理即得      1 1 n n nx 2 (1 ) 1  x ， x(1,1) 两边同时乘以 x ，便得到    n1 n nx 2 (1 x) x  ， x(1,1) 。 作为这个结果的应用，我们来求级数     1 3 2 1 n n n 的和。 在上式中令 3 1 x  ，则有 4 3 3 1 1          n n n ， 而 2 1 3 1 1          n n ，所以     1 3 2 1 n n n          1 3 1 2 n n n 2 3 1 1          n n 。 例 9.2.9 求幂级数   1 ( 1) n n n n x 的和函数。 解 由于 n lim 1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 1     n n n n ， 所以幂级数   1 ( 1) n n n n x 的收敛半径 R  1 。令      1 ( 1) ( ) n n n n x S x ， x(1,1) 。 应用幂级数的逐项可导性，可得 (xS(x))                 1 1 ( 1) n n n n x   n1 n n x ， (xS(x))       1 1 n n x 1 x 1 ， x(1,1) 。 对上一等式两边从 0 到 x 积分，注意到 ( ( )) 0 0   x xS x ，便得 (xS(x))     x dx x 0 1 1  ln(1 x)。 再积分一次，注意到 ( ) 0 0  x xS x ，便得