S(x) In(1-x)dx=(1-x)In(1-x) 于是有 (1-x)ln(1-x) S(x) +1,x∈(-1,1),x≠0, 0 显然,当x=±1时上式左边的级数收敛,于是 (1-x)ln(1-x) +1,x∈[-1,1),x≠0 n(n+1) 五.函数的 Taylor级数 幂级数有着良好的性质,因此如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂 级数,将给理论研究和实际应用带来极大方便。下面我们就来讨论函数可以表示 成幂级数的条件,以及如何将函数表示成幂级数。 由 Taylor公式,若函数f在x0的某个邻域上具有n+1阶导数,那么在该邻 域上成立 f(x)=f(x0)+f(x0x-x)+() (x-x0)”+rn(x) 其中rn(x)= fin+(xo+0(x-xo) (x-xo)(0<0<1)为 Lagrange余项。因此 n+1 可以用多项式 f(x0)+f(x0)(x-x0) f"(x0) )2 ) 2! 来近似∫(x)。人们自然会猜想,增加这种多项式的次数,就可能会增加近似的 精确度,因此可用以这种多项式为部分和的幂级数来表示函数。基于这种思想, 若函数∫在x的某个邻域O(x0,r)上任意阶可导,构造幂级数 X-x n! 这一幂级数称为∫在x0点的 Taylor级数,记为 f(x) 而称 xo k (k=0,1,2…) 为∫在x0点的 Taylor系数。特别地,当x。=0时,常称 为∫的 Maclaurin级数。xS(x)     x x dx 0 ln(1 )  (1 x)ln(1 x)  x 。 于是有     1 ( 1) n n n n x S(x)              0, 0. 1, ( 1, 1), 0, (1 )ln(1 ) x x x x x x 显然，当 x  1 时上式左边的级数收敛，于是   1 ( 1) n n n n x                   1, 1. 0, 0, 1, [ 1, 1), 0, (1 )ln(1 ) x x x x x x x 五．函数的 Taylor 级数 幂级数有着良好的性质，因此如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂 级数，将给理论研究和实际应用带来极大方便。下面我们就来讨论函数可以表示 成幂级数的条件，以及如何将函数表示成幂级数。 由 Taylor 公式，若函数 f 在 0 x 的某个邻域上具有 n 1 阶导数，那么在该邻 域上成立 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x r x n f x x x f x f x f x f x x x n n n             ， 其中 1 0 0 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ( )) ( )        n n n x x n f x x x r x  （ 0    1 ）为 Lagrange 余项。因此 可以用多项式 n n x x n f x x x f x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0           来近似 f (x) 。人们自然会猜想，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的 精确度，因此可用以这种多项式为部分和的幂级数来表示函数。基于这种思想， 若函数 f 在 0 x 的某个邻域 ( , ) 0 O x r 上任意阶可导，构造幂级数     0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x ， 这一幂级数称为 f 在 0 x 点的 Taylor 级数，记为 f (x) ~     0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x 。 而称 ! ( ) 0 ( ) k f x a k k  （ k  0,1,2,  ） 为 f 在 0 x 点的 Taylor 系数。特别地，当 x0  0 时，常称   0 ( ) ! (0) n n n x n f 为 f 的 Maclaurin 级数