自然要考虑的问题是,若函数∫在x0的某个邻域Ox0,r)上可表示成幂级数 f(x)=∑an(x-x0)”,x∈O(x,n), 该幂级数是否就是∫在x点 Taylor级数?答案是肯定的。根据幂级数的逐项可 导性,∫必定在O(x,r)上任意阶可导,且对一切k∈N,成立 f(x)=∑m(n-1)…(m-k+1a(x-x0)。 令x=x0便得 k=0,1,2 k 因此,如果一个函数可以表示成幂级数,那么该幂级数就是它的 Taylor级数,或 者说,幂级数就是其和函数的 Taylor级数。 另一个必须面对的问题是:若函数∫在x0的某个邻域O(x0,r)上任意阶可导 是否成立f(x)=∑ ro(x(x-x0)”?答案却是否定的,即,一个任意阶可导函 n! 数的 Taylor级数并非一定能收敛于该函数本身 yy=e 06 04 0.2 图9.2.1 例9.2.10设 f(x)={e,x≠0, 0 0 记Pn()是关于u的n次多项式。容易得到,对于k∈N,当x≠0时有自然要考虑的问题是，若函数 f 在 0 x 的某个邻域 ( , ) 0 O x r 上可表示成幂级数      0 0 ( ) ( ) n n n f x a x x ， ( , ) 0 x O x r ， 该幂级数是否就是 f 在 0 x 点 Taylor 级数？答案是肯定的。根据幂级数的逐项可 导性， f 必定在 ( , ) 0 O x r 上任意阶可导，且对一切 k  N +，成立          n k n k n k f (x) n(n 1) (n k 1)a (x x ) 0 ( )  。 令 0 x  x 便得 ! ( ) 0 ( ) k f x a k k  ，k  0,1,2, 。 因此，如果一个函数可以表示成幂级数，那么该幂级数就是它的 Taylor 级数，或 者说，幂级数就是其和函数的 Taylor 级数。 另一个必须面对的问题是：若函数 f 在 0 x 的某个邻域 ( , ) 0 O x r 上任意阶可导， 是否成立 f (x)      0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) n n n x x n f x ？答案却是否定的，即，一个任意阶可导函 数的 Taylor 级数并非一定能收敛于该函数本身。 例 9.2.10 设         0, 0. e , 0, ( ) 2 1 x x f x x 记 P (u) n 是关于 u 的 n 次多项式。容易得到，对于  k N ，当 x  0 时有