第四章积分 在引言中我们已经提到, Riemann积分在处理连续函数或者逐段连续函数时,在计算 些几何和物理的量时它是很有用的.但它也存在一些缺陷,使得 Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力.因此需要建立新的积分的理论二十世纪初, Lebesgue建 立了一种新的积分理论.新的积分理论消除了上述缺陷,并且包含了原有的 Riemann积分理 论.这就是本章将要介绍的 Lebesgue积分理论 由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论 §41积分的定义 教学目的由于理论和应用的需要,需要建立新的积分理论本节在抽象 测度空间上定义可测函数的积分,并简单讨论可积条件 本节要点定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负 可测函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理性 本节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue积分是其特例 设(X,,)为一测度空间.我们通过三个步骤定义简单函数的积分 L.非负简单函数的积分 定义1设f=∑al4是一非负简单函数定义∫关于测度4的积分为 f=∑aA(A) 在不引起混消的情况下.∫,可简记为m 由定义知道这里d20.一般情况下|和d可能为+∞ 在上述定义中,∫d的值是确定的,即不依赖于∫的表达式的选取.事实上,设 f=∑b1是f的另一表达式注意到X=U4=UB,并且当当4AB,≠D时必 有a1=b,我们有90 第四章 积 分 在引言中我们已经提到, Riemann 积分在处理连续函数或者逐段连续函数时, 在计算一 些几何和物理的量时它是很有用的. 但它也存在一些缺陷, 使得Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力. 因此需要建立新的积分的理论. 二十世纪初, Lebesgue 建 立了一种新的积分理论. 新的积分理论消除了上述缺陷, 并且包含了原有的Riemann积分理 论. 这就是本章将要介绍的 Lebesgue 积分理论. 由于现代数学的许多分支如概率论, 泛函分析, 群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论, 因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论. §4.1 积分的定义 教学目的 由于理论和应用的需要, 需要建立新的积分理论.本节在抽象 测度空间上定义可测函数的积分, 并简单讨论可积条件. 本节要点 定义积分的过程分三个步骤, 逐步定义非负简单函数, 非负 可测函数和一般可测函数的积分. 其中第一, 二个步骤要验证定义的合理性. 本节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue 积分是其特例. 设(X, F ,µ) 为一测度空间. 我们通过三个步骤定义简单函数的积分. I. 非负简单函数的积分 定义 1 设 1 i n i A i f a I = =∑ 是一非负简单函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 X fdµ ∫ = 1 ( ). n i i i a A µ = ∑ 在不引起混淆的情况下, X fdµ ∫ 可简记为 ∫ fdµ . 由定义知道这里 ≥ 0. ∫ fdµ 一般情况下 ∫ fdµ 可能为 + ∞. 在上述定义中, ∫ fdµ 的值是确定的, 即不依赖于 f 的表达式的选取. 事实上, 设 ∑= = m j j Bj f b I 1 是 f 的另一表达式. 注意到 , 1 1 ∪ ∪ m j j n i X Ai B = = = = 并且当当 Ai ∩ Bj ≠ ∅ 时必 有 , ai = bj 我们有