∑a,(4)=∑∑a川(A1∩B)=∑∑b(4∩B)=∑b,(B) 这表明的∫值不依赖于的表达式的选取 上面定义的非负简单函数的积分,在 Lebesgue测度空间的情形有明显的几何意义.例 如若∫=∑a,L为b上的非负阶梯函数,其中J…,为[ab]上的互不相交的子 区间,则 =∑am()=∑a 恰好是函数∫的下方图形{(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x)}的面积(见图4_1)若 ∫=∑a是[ab]上一般的非负简单函数,其中J…J是[a小]上互不相交的L可测 集,则|fdm也可以想象为某个平面图形的面积借助于非负简单函数的几何意义,读 者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释 f(x O J.J. J.J. b 图41 当然在一般测度空间的情形,积分d无几何意义可言.但仍可以看成是一种加权 和,而 4()J则可以看成是∫在x上的一种平均值 例1设A是一可测集,则A的特征函数是非负简单函数.因此91 ∑ ∑∑ = == = ∩ n i n i m j i i i Ai Bj a A a 1 11 µ( ) µ( ) ∑∑= = = ∩ m j n i i Ai Bj b 1 1 µ( ) ( ). 1 j m j ∑bj B = = µ 这表明的 ∫ fdµ 值不依赖于 f 的表达式的选取. 上面定义的非负简单函数的积分, 在 Lebesgue 测度空间的情形有明显的几何意义. 例 如, 若 i J n i i f ∑a I = = 1 为[a,b]上的非负阶梯函数, 其中 1, , n J J " 为[a,b]上的互不相交的子 区间, 则 [,] 1 1 ( ) n n i i ii a b i i fdm a m J a J = = ∫ = = ∑ ∑ 恰好是函数 f 的下方图形 {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} 的面积 ( 见 图 4—1). 若 i J n i i f ∑a I = = 1 是[a,b]上一般的非负简单函数, 其中 n J ,"J 1 是[a,b]上互不相交的 L 可测 集, 则 [,] a b ∫ fdm 也可以想象为某个平面图形的面积. 借助于非负简单函数的几何意义, 读 者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释. 图 4—1 当然在一般测度空间的情形, 积分 ∫ fdµ 无几何意义可言. 但仍可以看成是一种加权 和, 而 ∫ µ µ fd (X ) 1 则可以看成是 f 在 X 上的一种平均值. 例 1 设 A 是一可测集, 则 A 的特征函数 A I 是非负简单函数. 因此 x y O a5 1 a 2 a a3 4 a 2 J 3 J 1 J 5 J 4 J f (x) a b