1x=1(4)=(4) 这个简单事实以后会经常用到 为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质 定理2设∫,g是非负简单函数.则 ()je和d=c,(c20是实数) (i). U+g)du= sau+ gdu (i).若∫≤g (ⅳv)若g,Jn(n≥1)是非负简单函数,满足fn≤fnt(n≥1),并且 imf(x)28(x)处处成立,则imJf,d28d 证明(i)是显然的.(i).设 b 不妨设X=U4=∪B,则f,g可以写成 ∫=∑∑a14,8=∑∑b4 故不妨设∫=∑alEg=∑blE于是 (+g)du b)(E,)=∑a(E,)+∑b(E,)=+ i)不妨设f=∑a,l4,g=∑bl4由于∫≤gae,因此对任意i=1,…,n 当(A4)>0时,a1≤b,所以 ∫=2(4)=2h(4)=「 (iv)由于{/m}是单调增加的由(i)知道」fnd是单调增加的故极限 lim fnd存 在设g=∑bl4又设E是任意给定的,满足0<E<1.对每个=1…k和自然数92 ∫ I d = 1⋅ (A) = (A). A µ µ µ 这个简单事实以后会经常用到. 为进一步定义可测函数的积分, 我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质. 定理 2 设 f , g 是非负简单函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . (iv). 若 g, f (n ≥ 1) n 是非负简单函数 , 满 足 ( 1) f n ≤ f n+1 n ≥ , 并 且 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ 处处成立, 则 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 证明 (i).是显然的. (ii).设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = m j j Bj g b I 不妨设 . 1 1 ∪ ∪ m j j n i X Ai B = = = = 则 f , g 可以写成 , 1 1 ∑∑= = = ∩ n i m j i Ai Bj f a I . 1 1 ∑∑= = = ∩ m j n i j Ai Bj g b I 故不妨设 ∑= = n i i Ei f a I 1 ∑= = n i i Ei g b I 1 于是 ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ + = + = + = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. 1 1 1 f g dµ a b µ E a µ E b µ E fdµ gdµ n i i i n i i i n i i i i (iii). 不妨设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = n i i Ai g b I 由于 f ≤ g a.e. , 因此对任意 i = 1,",n, 当 µ(Ai) > 0时, , ai ≤ bi 所以 ( ) ( ) . 1 1 µ µ µ µ ∫ ∑ ∑ ∫ = = = ≤ = n i i i n i fd ai Ai b A gd (iv).由于{ }n f 是单调增加的,由 (iii) 知道 ∫ f n dµ 是单调增加的,故极限 ∫ →∞ f n dµ n lim 存 在.设 . 1 ∑= = k i i Ai g b I 又设 ε 是任意给定的, 满足 0 < ε < 1 . 对每个 i = 1,", k 和自然数