证明不妨设J(a)=0,n≥1.由于∫,fn(n≥1)都单调增加的,因此至多除去一个 零测度集E外,f,f"(n≥1)都存在.记Sn(x)=∑∫(x)对每个自然数n≥1,由于 Sn(x)-Sn-1(x)=fn(x)和f(x)-sn(x)都是单调增加的函数,故它们的导数都是非负的 因此有 因此在E上级数∑f(x)处处收敛由于 lim s((b)=f(b),故存在Sn(b)的子列 Sn(b)使得f(b)-Sn(b)<,k≥1.因此对任意x∈[a,b],我们有 0≤∑((x)-sn(x)∑((b)-sm(b)<∑=1 这表明级数∑((x)-Sn(x)处处收敛注意这个级数的每一项∫(x)-Sm(x)也是单 调增加的函数将上面证明的关于级数∑f(x)的结论用到级数∑(f(x)-S2(x)上 来即知级数∑(f(x)-Sn(x)几乎处处收敛由于收敛级数的通项应收敛于0,因此 im(f(x)-S2(x)=0 lim s(x)=f∫(x)ae.由此知道lims(x)=∫(x)a.即(13)成立■ 小结本节的主要结果是单调函数的可微性定理本节的结果表明,单调函数具有 系列良好的性质单调函数是L可积的并且几乎处处可微. Vital覆盖定理不仅是证明单调 函数的可微性定理的基础,它本身也是一个重要的结果 习题习题五,第1题一第3题147 证明 不妨设 f (a) = 0, n ≥ 1. n 由于 f , f (n ≥ 1) n 都单调增加的, 因此至多除去一个 零测度集 E 外, f ′, f ′ (n ≥ 1) n 都存在. 记 ( ) ( ). 1 ∑= = n i n i s x f x 对每个自然数 n ≥ 1, 由于 ( ) ( ) ( ) 1 s x s x f x n − n− = n 和 f (x) s (x) − n 都是单调增加的函数, 故它们的导数都是非负的. 因此有 ( ) ( ) ( ), . sn ′−1 s ≤ sn ′ x ≤ f ′ x x ∈ E 因此在 E 上级数 ∑ ∞ = ′ 1 ( ) n n f x 处处收敛. 由于 lim s (b) f (b), n n = →∞ 故存在 s (b) n 的子列 s (b) nk 使得 , 1. 2 1 f (b) − s (b) < k ≥ nk k 因此对任意 x ∈[a,b], 我们有 1. 2 1 0 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 1 1 1 ≤ ∑ − ≤ ∑ − < ∑ = ∞ = ∞ = ∞ = k k k n k f x sn x f b s b k k 这表明级数 ∑ ∞ = − 1 ( ( ) ( )) k n f x s x k 处处收敛. 注意这个级数的每一项 f (x) s (x) nk − 也是单 调增加的函数. 将上面证明的关于级数 ∑ ∞ =1 ( ) n n f x 的结论用到级数 ∑ ∞ = − 1 ( ( ) ( )) k n f x s x k 上 来, 即知级数∑ ∞ = ′ − ′ 1 ( ( ) ( )) k n f x s x k 几乎处处收敛. 由于收敛级数的通项应收敛于 0, 因此 lim( ′( ) − ′ ( )) = 0 a.e.. →∞ f x s x nk k 即 lim s (x) f (x) a.e.. nk k ′ = ′ →∞ 由此知道 lim s (x) f (x) a.e.. n n ′ = ′ →∞ 即(13)成立. 小 结 本节的主要结果是单调函数的可微性定理.本节的结果表明,单调函数具有一 系列良好的性质.单调函数是 L 可积的并且几乎处处可微. Vitali 覆盖定理不仅是证明单调 函数的可微性定理的基础, 它本身也是一个重要的结果. 习 题 习题五, 第 1 题 第 3 题