因此,由 Fatou引理我们有 gdx s lim」.gn=limn(f(b)-n"f)≤f(b)-∫(a) 这表明g是可积的因此g是几乎处处有限的.于是∫几乎处处可导.由于∫=gae 故(12)表明(4)成立 若∫是定义在[a,b]上的单调减少的实值函数,对-∫应用定理5的结论知道单调 减少的实值函数也是几乎处处可微的 下面的例子说明在定理5中,单调函数是几乎处处可导的这一结论,一般说来是不 能改进的 例1设E是(a,b)中的 Lebesgue零测度集.对每个自然数n,令Gn是包含E的开 集并且m(Gn)<一对每个n=1,2,…,令 fn(x)=m([a,x]⌒Gn),x∈[a,b] 显然,f是单调增加的非负函数并且≤对任意x∈[ab我们有 fn(x+h)-fn(x)≤h当x+h∈ab 因此f是[ab]上的连续函数再令∫=∑∫n则∫是单调增加的非负的连续函数现 在设x∈E.对任意n≥1,当充分小时, [x,x+h∈G;∩(a,b),i=l1,…,n 由f的定义,此时有 f(x+h)-(x) 于是有 f(x+n-ye2yJ(x+h)-f(x)2n h h 因此f(x)=+∞.这表明∫在E上处处不可导 下面是关于单调函数的逐项求导定理 定理6( Fubini)设∫n(n=1,2,…)是[a,b上的一列单调增加的函数,并且函数项级 数∑f(x)在[ab上处处收敛于f(x)则成立 f(x)=∑f(x146 因此, 由 Fatou 引理我们有 lim lim( ( ) ) ( ) ( ). 1 gdx g dx f b n fdx f b f a n a a n b a n n b a ≤ = − ≤ − ∫ ∫ ∫ + →∞ →∞ (12) 这表明 g 是可积的. 因此 g 是几乎处处有限的. 于是 f 几乎处处可导. 由于 f ′ = g a.e. 故(12)表明(4)成立. 若 f 是定义在[a,b]上的单调减少的实值函数, 对 − f 应用定理 5 的结论知道单调 减少的实值函数也是几乎处处可微的. 下面的例子说明在定理 5 中, 单调函数是几乎处处可导的这一结论, 一般说来是不 能改进的. 例 1 设 E 是(a,b)中的 Lebesgue 零测度集. 对每个自然数 n, 令Gn 是包含 E 的开 集并且 . 2 1 ( ) m Gn n < 对每个n = 1, 2,L, 令 ( ) ([ , ] ), n Gn f x = m a x ∩ x ∈[a,b]. 显然, nf 是单调增加的非负函数并且 . 2 1 n n f ≤ . 对任意 x ∈[a,b], 我们有 f (x h) f (x) h , n + − n ≤ 当 x + h ∈[a,b]. 因此 n f 是[a,b]上的连续函数. 再令 . 1 ∑ ∞ = = n n f f 则 f 是单调增加的非负的连续函数. 现 在设 x ∈ E. 对任意 n ≥ 1, 当 h 充分小时, [x, x h] G (a,b), i 1, ,n. + ⊂ i ∩ = L 由 n f 的定义, 此时有 1, 1, , . ( ) ( ) i n h f x h f x i i = = L + − 于是有 . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n h f x h f x h f x h f x n i i i = + − ≥ + − ∑= 因此 f ′(x) = +∞. 这表明 f 在 E 上处处不可导. 下面是关于单调函数的逐项求导定理. 定理 6 (Fubini)设 f (n = 1, 2,L) n 是[a,b]上的一列单调增加的函数, 并且函数项级 数∑ ∞ =1 ( ) n n f x 在[a,b]上处处收敛于 f (x). 则成立 ( ) ( ), a.e.. 1 ∑ ∞ = ′ = ′ n n f x f x (13)