f(y+k)-f(y>rk 所有这样的区间[y,y+k]构成了B的一个 Natali覆盖.再次应用引理4,存在有限个互 不相交的这样的区间J=[,y+k,11=1…P,使得m(B-U)<E利用(7)得 m(4)<m(B)+E≤m(B⌒UJ,)+m(B-UJ)+E m∪ k 因此∑k,>m'(A)-2E.并且由于(9),我们有 (f(+k)-f()>r∑k>r(m(4)-26) 由于∫是单调增加的,并且每个J包含在某个中,因此我们有 ∑((x)-f(x-h)≥∑(f(+k)-f(y) 结合(8)(10)和(1)得到 r(m(A)-2E)<s(m(A)+E) 由于E>0的任意性得到m'(4)≤sm'(A).由于r>s,故必有m'(A)=0.由此得到 m(E1)=0.类似地,若令E2={Df>D,∫},则可以证明m(E2)=0.令 E=E1∪E2,则m(E)=0.在(a,b)-E上,我们有 D,f≤Df≤Df≤Df≤D,f. 因此在(a,b)-E上(5)成立这表明极限 g(x)=lim f(x+h-f(x) 几乎处处存在(有限或±∞).当g(x)有限时,∫在x点可导.令 (x)=nf(x+-)-f(x)],n≥1 (其中定义当x>b时f(x)=f(b))则gn→gae.因此g是可测的.由于∫是单调增 加的,故gn≥0.我们有 ∫g=[(x+1)-f(x)=门-n -可145 f ( y + k) − f ( y) > rk. (9) 所有这样的区间[ y, y + k] 构成了 B 的一个 Vatali 覆盖. 再次应用引理 4, 存在有限个互 不相交的这样的区间 [ , ], i i i i J = y y + k i = 1,L, p, 使得 ( ) . 1 − < ε = ∗ U p i i m B J 利用(7)得 < + ε ≤ ∩ + − + ε = ∗ = ∗ ∗ ∗ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 U U p i i p i i m A m B m B J m B J ( ) 2 2 . 1 1 ≤ + ε = ∑ + ε = = p i i p i i m UJ k 因此 ( ) 2 . 1 > − ε ∗ = ∑k m A p i i 并且由于(9), 我们有 ( ( ) ( )) ( ( ) 2 ). 1 1 + − > > − ε ∗ = = ∑ f y k f y r∑k r m A p i i p i i i i (10) 由于 f 是单调增加的, 并且每个 i J 包含在某个 j I 中, 因此我们有 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )). 1 1 ∑ ∑ = = − − ≥ + − p i i i i n i i i i f x f x h f y k f y (11) 结合(8),(10)和(11)得到 ( ( ) − 2ε ) < ( ( ) + ε ). ∗ ∗ r m A s m A 由于ε > 0 的任意性得到 rm (A) sm (A). ∗ ∗ ≤ 由于 r > s, 故必有 ( ) = 0. ∗ m A 由此得到 ( ) 0. 1 = ∗ m E 类似地 , 若 令 { }, 2 E D f D f + − = > 则可以证明 ( ) 0. 2 = ∗ m E 令 , E = E1 ∪ E2 则 ( ) = 0. ∗ m E 在(a,b) − E 上, 我们有 D f D f D f D f D f . + − − + + ≤ ≤ ≤ ≤ 因此在(a,b) − E 上(5)成立. 这表明极限 h f x h f x g x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → 几乎处处存在(有限或 ± ∞ ). 当 g(x) 有限时, f 在 x 点可导. 令 ) ( )], 1. 1 ( ) = [ ( + − f x n ≥ n g x n f x n (其中定义当 x > b时 f (x) = f (b)). 则 g g a.e.. n → 因此 g 是可测的. 由于 f 是单调增 加的, 故 ≥ 0. n g 我们有 ( ) . ) ( )] 1 [ ( 1 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + + + + = − = − = + − = − n a a n a a n b b b a n b n a b a b a n n fdx n fdx f b n fdx f x dx n fdx n fdx n g dx n f x