Df(xo)= f(x0+h)-f(x0) D f(xo=lim f(x0+h)-f(x0) h h f(xo+h-f(xo) D-f(xo) f(o+h-f(xo) Dfo h→0+ (上述极限值均允许为土∞)分别称它们为∫在x点的右上导数,左上导数,右下导数 和左下导数.从定义知道一般地成立 Df(x)≥D,f(x0),Df(x)≥D.f(x0) 显然∫在x0点可导当且仅当 Df(x0)=D,f(x0)=Df(x0)=Df(x0)≠土∞ 定理5设∫是定义在区间[a,b上的单调增加的实值函数则∫在[a,b上几乎处 处可导.其导数∫在[a,b]上 lebesgue可积并且成立 f(x)dx≤∫(b)-f(a) 证明我们先证明在(a,b)上几乎处处成立 Df=Df=Df=D-f 令E1={Df>D.f则E1=U{Df>r>s>D.f其中Q为有理数集我们 要证明m(E1)=0,为此只需证明对任意r,s∈Q,m(D'f>r>s>D.f})=0 记A={Df>r>s>D∫}.对任意E>0,存在开集G=A使得 m(G)<m'(A)+E.对任意x∈A,由于Df(x)<s,故存在h>0使得[x-h,x]cG 并且 f(x)-f(x-h)< sh 所有这样的区间[x-h,h构成了A的一个 Natali覆盖.由引理4,存在有限个互不相交的 这样的区间1=[x-h,x1=1…,n使得m(A-∪1)<E.令B=A∩U,则 m(A)sm(AnU/)+m(A-U/)<m(B)+E 由(6)式我们有 ∑(f(x)-f(x-h)<S∑h<Sm(G)<s(m(A)+E) 对每个y∈B,由于Df(y)>r,故存在k>0,使得区间[y,y+k]包含在某个区间2 内并且144 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → + + , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → − − , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → + + . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x D f x h + − = → − − (上述极限值均允许为 ± ∞ ). 分别称它们为 f 在 0 x 点的右上导数, 左上导数, 右下导数 和左下导数. 从定义知道一般地成立 ( ) ( ), ( ) ( ). 0 0 0 0 D f x D f x D f x D f x − − + + ≥ ≥ (3) 显然 f 在 0 x 点可导当且仅当 ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 = 0 = 0 = − 0 ≠ ±∞ − + + D f x D f x D f x D f x 定理 5 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调增加的实值函数. 则 f 在[a,b]上几乎处 处可导. 其导数 f ′在[a,b]上 lebesgue 可积并且成立 f (x)dx f (b) f (a). b a ′ ≤ − ∫ (4) 证明 我们先证明在(a,b)上几乎处处成立 D f D f D f D f . − − + + = = = (5) 令 { }. 1 E D f D f − + = > 则 { }. , 1 U ∈Q − + = > > > r s E D f r s D f 其中Q 为有理数集. 我们 要证明 ( ) 0, 1 = ∗ m E 为此只需证明对任意 r,s ∈ Q , ({ > > > }) = 0. − ∗ + m D f r s D f 记 A {D f r s D f }. − + = > > > 对任意 ε > 0, 存在开集 G ⊃ A 使 得 ( ) < ( ) + ε. ∗ m G m A 对任意 x ∈ A, 由于 D f (x) < s, − 故存在 h > 0使得[x − h, x] ⊂ G 并且 f (x) − f (x − h) < sh. (6) 所有这样的区间[x − h, h]构成了 A 的一个 Vatali 覆盖. 由引理 4, 存在有限个互不相交的 这样的区间 [ , ], i i i i I = x − h x i = 1,L,n, 使得 ( ) . 1 − < ε = ∗ U n i i m A I 令 , 1 U o n i i B A I = = ∩ 则 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 ≤ ∩ + − < + ε ∗ = ∗ = ∗ ∗ m A m A I m A I m B n i i n i U i U o o (7) 由(6)式我们有 ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ). 1 1 − − < < < + ε ∗ = = ∑ f x f x h s∑h sm G s m A n i i n i i i i (8) 对每个 y ∈ B, 由于 D f ( y) > r, + 故存在 k > 0 , 使得区间[ y, y + k] 包含在某个区间 o i I 内并且